Что такое алгебра логики?

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении которого, мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.

Высказывания бывают истинными и ложными, частными и общими, простыми и сложными.

Пример. Предложение “6 — четное число” следует считать простым, общим, истинным высказыванием. Предложение “Рим — столица Франции” - простое, общее, ложное высказывание.

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

! Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если..., то…”, “…тогда и только тогда, когда…” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Пример. Из элементарных высказываний “Петров — врач”, “Петров — шахматист” при помощи связки “и”, можно получить составное высказывание: “Петров — врач и шахматист”, понимаемое как “Петров — врач, хорошо играющий в шахматы”.

Пример. При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Петров — врач или шахматист”, понимаемое в алгебре логики как “Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно”.

В алгебре логики высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита, то есть высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C, D... и так далее. Если высказывание А истинно, то пишут А =1, если ложно, то А = 0.

! В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

Пример. Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения — “истина” или “ложь”, обозначаемые, соответственно, “1” и “0”

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.