Билет №29 Спектральная теорема, диагонализируемость симметричной матрицы

Теорема: Для всякого симметричного оператора в каноническом пространстве существует ортонормированный собственный базис, состоящий из собственных векторов e₁,…, e_n отвечающих вещественным собственным значениям ₁… _n; Следствие: для всякой симметричной матрицы существует ортонормированный собственный базис, т.е. А – симметричная матрица (nxn) базис в Rⁿ e₁,…, e_n => (e₁,e_n)=e_i^te_j={0, i<>j; 1, i=j; и Ae₁= _ie_1, i=1..n, где ₁… _n – вещественные собственные значения матрицы А. Теорема: всякая симметричная матрица диагонализируема. Док-во: Диагонализируема она тогда, когда у нее есть собственный базис. Применить следствие 1 и сформулированный ранее критерий диагонализируемости.

Билет №30 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

Теорема: f_A(x)= - квадратичная форма от n переменных x₁,…,x_n в симметричной матрице А= Пусть далее Т – ортогональная матрица в столбцах которой стоят векторы ортонормированного собственного базиса для симметричной матрицы А. Тогда формула x=Ty f_A(x) = ₁y₁²+…+ _ny_n², где ₁… _n – собственные значения матрицы А; Док-во: f_A(x)= =x^tAx; далее, Т=Т_{какон базис –> собсвенный базис матрицы А}; L_A^ - матрица L_A в каноническом базисе (L_A=A); L_A^’ - матрица L_A в собственном базисе (L_A’=B= = ( ₁,0,…,0/0, ₂,0,…,0/0,…, 0, _n)); L_A^’ = T^-1L_A^T; B=T^-1AT; Тогда f_A(x)=x^tAx = (Ty)^tA(Ty)=(y^tT^t)A(Ty)= ^{T орт} y^t(T^-1AT(=B))y=y^tBy= ₁y₁²+…+ _ny_n²