Определители

Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число detA, называемое её определителем, следующим образом: Сумма берётся по всем перестановкам номеров столбцов.

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается Aij. Aij=(-1)^i+jmij.

Св-ва определителей:

1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. «Элементарные преобразования определителя». Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраическое дополнение.

Докажем св-во 7 на примере определителя 3-го порядка.

В самом деле, имеем

8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Правило Саррюса для n=2.

=a11a22-a12a21

Правило Саррюса для n=3.

=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Треугольным называется определитель, в котором выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Определитель Вандермонда.

Для определителя Вандермонда справедлива формула

Определитель Вандермонда равен нулю, тогда и только тогда, когда среди чисел x1,…,xn есть хотя бы два одинаковых.

Комплексные числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где x и y – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. RC.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Re z, а y – мнимой частью z, y=Im z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+i0=x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные чмсла z=0+iy.

Комплексное число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора OM=(x;y). Длина вектора OM, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z|. Величина угла между положительным направлением действительной осью и вектором ОМ, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или .

Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z<>0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2k (k=0,-1,1,-2,2…): Arg z=arg z+2k, где arg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке (-;].

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль OM и аргумент  комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора OM, изображающего комплексное число z=x+iy. Тогда получаем x=rcos, y=rsin, где r=OM. Следовательно, комплексное число z=x+iy можно записать в виде z=rcos+irsin или z=r(cos+isin). Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой. r=|z|=(x²+y²).

Использую формулу Эйлера e^i= cos+isin, комплексное число z=r(cos+isin) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=re^i, где r=|z| - модуль комплексного числа, а угол  = Arg z=arg z+2k.

Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2=iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2)+I(y1+y2).

Сложение двух комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Геометрические комплексные числа складываются как векторы.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).

Геометрические комплексные числа вычитаются как векторы.

Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение i²=-1.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то zⁿ=(r(cos+isin))ⁿ=rⁿ(cosn+isinn). Эта формула называется формулой Муавра.

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 <>0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженное на z2, даёт число z1, т.е. z1/z2=z, если z2z=z1.

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корня n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное числоw, удовлетворяющее равенствуwⁿ=z.

Если положить z=r(cos+isin), аw=p(cos+isin), то, по определению корня и формуле Муавра, получаемz=wⁿ=pⁿ(cos(n)+isin(n))=r(cos+isin). Отсюда имеемpⁿ=r,n=+2k,k=0,-1,1,-2,2,… То есть=(+2k)/nиp=r^(1/n) (арифметический корень). Поэтому равенствоz^(1/n)=wпринимает вид:

k=0,1,…,n-1