1. Вычисления с конечной точностью и их особенности. Абсолютная (предельная абсолютная) и относительная (предельная относительная) погрешности. Источники возникновения погрешностей в вычислительной математике. Погрешности арифметических операций и погрешность вычисления функции.

Любое приближенное вычисление связано с ошибкой (погрешностью).

Виды ошибок:

1. Погрешность математической модели, связанная с неполными знаниями о процессе.

2. Погрешность упрощения модели.

3. Погрешность, связанная с приближенным характером начальных данных.

4. Погрешность приближения.

Первые две погрешности относятся к систематическим, а две последние – к статистическим.

Абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютная (предельная) погрешность определяет интервал, в котором лежит точное значение величины.

Пусть А – точное значение величины (оно нам неизвестно). а – приближенное значение величины (известно). За абсолютную погрешность Δ принимается минимальное число Δа, удовлетворяющее условию: Δ≥|А-а|.

При статических измерениях погрешность Δа задается с определенной достоверностью, т.е. вероятность события |А-а|≤ Δа больше определенной величины γ: P(|A-a|≤ Δa)≥ γ≤1

Перепишем определение: а- Δа≤А≤а+ Δа; точное значение А лежит в заданном интервале.

Для оценки качества измерений вводится относительная погрешность

Заданные величины Δа и δа позволяют записать точное значение А в символическом виде: А=а(1± δа)

Погрешность функций.

Пусть дана функция от n приближенных значений , погрешности которых известны. Требуется определить погрешность функции . , где - абсолютная погрешность приближенной величины . Если , то разность, стоящую в формуле можно оценить в линейном приближении:

Отсюда следует оценка погрешности:

,

Погрешность простейших функций двух переменных

Погрешность суммы:

Погрешность разности: При качество измерений разности ухудшается.

Замечание: Абсолютная погрешность суммы и разности n приближенных величин равна сумме их абсолютных погрешностей.

Погрешность произведения:

То есть предпочтительней сначала найти относительную погрешность, а затем искать абсолютную: Замечания:

• Относительная погрешность степени есть произведение модуля показателя на относительную погрешность основания степени: .

• Относительная погрешность произведения n сомножителей приближенных величин равна сумме относительных погрешностей сомножителей: . Погрешность частного:

Все замечания сделанные для произведения справедливы и в этом случае.

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Метод исключения Гаусса без выбора ведущего элемента, возможность роста погрешности. Схемы с частичным и полным выбором ведущего элемента. Количество операций для рассматриваемых алгоритмов.

   Метод Гаусса (Метод исключений)

Численное решение систем вида:

(1)

или Ax=b методом Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Система (1) поэтапно приводится к треугольному виду. Сначала исключается x1 из 2-го, 3-го, ..., n-го уравнений, для этого необходимо сложить уравнения 2,3,...,n с первым уравнением, умноженным на -a21/a11, -a31/a11,..., -an1/a11 соответственно .

(2)

Потом x2 из 3-го,..., n-го умножением второго уравнения на -a¹32/a¹22, -a¹42/a¹22,...,

-a¹n2/a¹22 и сложением с 3,4,..n уравнениями.

И дальше по аналогии система приводится к треугольному виду:

процесс приведения системы к треугольному виду называется прямым ходом. Общие фомулы для прямого хода:

k =1,...,n – 1; i,j = k+1,...,n .

Для нахождения решения теперь необходимо вычислить неизвестные, начиная с n-го уравнения. Процесс вычисления значений неизвестных называется обратным ходом.

На каждом этапе xk находится по формуле

k = n, n-1, ..., 1.

Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность. В книге [ Самарский , Гулин] показано, что для больших систем порядка m число действий умножений и делений близко к .

Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса. Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам

a_ij^(k) = a_ij^(k–1) − q_ika_kj , b_i^(k) = b_i^(k–1) − q_ikb_k^(k–1) , i = k + 1, …, n.

Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей q_ik.

В методе Гаусса с выбором главного элементов по столбцу гарантируется, что |q_ik| ≤ 1 для всех k = 1, 2, …, n – 1 и i = k + 1, …, n. Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikk при неизвестной x_k в уравнениях с номерами i = k + 1, …, n. Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером i_k меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента a_kk^(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного x_k производят, как в схеме единственного деления.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге метода среди элементов a_ij определяют максимальный по модулю элемент a_i1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i₁ меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного x_j1 из всех уравнений, кроме первого.

На k-м шаге метода среди коэффициентов a_ij^(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikjk^(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное x_jk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n.

На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: x_jn, x_jn–1, …, x_j1.