В общем случае это неравенство сходимости можно представить в виде:

 

, (2.4)

 

где и – некоторые числа, значения которых определяются методом уточнения корня. Главным показателем скорости сходимости метода является значение , называемое порядком сходимости

В16.Численное интегрирование и квадратурные формулы. Лабораторная работа 5 «вычисление интегралов». Формула прямоугольников (левых и правых)/ трапеции/ формула парабол (формула Симпсона) и соответствующие общие формулы для всего интервала, их точность.

Численное интегрирование— вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Квадратурные формулы:

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона) (они и называются квадратурными формулами)

Метод прямоугольников

Основная статья: Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной (это шаг) Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

где

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона)

, где h-шаг, O(h^2) – остаточный член для непрерывной функции

17.Численное интегрирование и квадратурные формулы. Квадратурные формулы и интерполяционный полином Лагранжа с произвольными узлами, формулы Ньютона-Котеса. Оценка точности численного интегрирования. Интегрирование по Ромбергу, Лабораторная работа 5 «Вычисление интегралов»

Численное интегрирование— вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Квадратурные формулы:

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона) (они и называются квадратурными формулами)

метод прямоугольников

Метод трапеции

Метод парабол

Многочлен Лагранжа:

где правая часть от y это

где - коэффициент, который находится из условия .

Основная идея метода состоит в том, что полином представлен в виде суммы двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:

Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. Недостаток – добавление (n+1)-ого узла требует перерасчета всех слагаемых.

Формула Ньютона-Котеса

Рассмотрим интервал: , .

На интервале заменим интерполяционным полиномом Лагранжа (2.1.1), подставляя в него переменную q, равную:

.

, получим ,

где штрих означает отсутствие в произведении сомножителя с j=i

коэффициенты А_i равны:

, (4.1.1)

где не зависящие от интервала [a,b] – коэффициенты Котеса.

Оценка точности численного интегрирования

Один из возможных способов оценки точности построенных формул состоит в следующем. Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку:

Выберем на этом отрезке какую-либо «опорную» точку x = z и разложим подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора относительно этой точки:

 — остаточный член используемой формулы Тейлора.

Вычисляя интеграл от последней суммы, получаем представление  в виде:

                     (3.9)

где коэффициенты A, B, … зависят от значения производных в точке z:    …

Заметим далее, что каждая из рассматриваемых квадратурных формул (прямоугольников, трапеций и Симпсона) в пределах элементарного отрезка  может быть представлена следующим образом:

                                              (3.10)

со своими коэффициентами r, s, q.

Заменяя в (3.10) каждое из значений функции f по формуле Тейлора относительно той же точки z, получим представление приближенного значения  в виде, аналогичном (3.9):

                                        (3.11)

Сравнивая представления (3.9) и (3.11), обнаруживаем, что кроме первых слагаемых в (3.9), (3.11) совпадает еще некоторое количество (p – 1) слагаемых, так что   … Несовпадающие слагаемые характеризуют ошибку квадратурной формулы. Оценивая величины этих слагаемых, приходим к оценке для локальной (на интервале ) погрешности

где D — числовая константа, а  — p-я производная функции .

Метод Ромберга заключается в том, что полученные оценки значения интеграла экстраполируют на случай бесконечного числа разбиений (величины шага равной нулю) по рекуррентной формуле

 (4.1)

То есть строится следующий треугольник

R(1,1)

R(2,1) R(2,2)

R(3,1) R(3,2) R(3,3)

R(4,1) R(4,2) R(4,3) R(4,4)

R(5,1) R(5,2) R(5,3) R(5,4) R(5,5) ,

в котором первый столбец состоит из значений интеграла, полученных при последовательном удвоении числа интервалов. Второй столбец – результат уточнения значений первого столбца по рекуррентной формуле (4.1). Третий столбец – уточненные значения интеграла на основе второго столбца и т.д.

Формула (4.1) может быть получена различными способами. Можно, например, воспользоваться методом Невиля. Пусть имеется набор точек  . Обозначим   полином нулевой степени, проходящий через i-ю точку. Обозначим  полином первой степени, проходящий через точки i и i+1. Совершенно аналогично будет означать   полином n–1 степени, проходящий через все n точек. Легко убедиться, что

В нашем случае  . В качестве   выступают  . Мы хотим получить значение интеграла в пределе  , поэтому  .

18. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы Гаусса. Узлы и веса в формуле Гауссе и ортогональные полиномы. Формулы и специальные интегралы, связанные с классическими ортогональными полиномами: формулы Гаусса-Лежандра, Гаусса-Чебышева, Гаусса-Лягера, Гаусса-Эрмита и Якоби

Рассмотрим вычисление интеграла вида

где a, b и W(x) известны заранее. Существует два способа вычислить этот интеграл. Первый способ - это применение одного из общих алгоритмов интегрирования (метода Симпсона, Ромберга и т.д.). Второй способ состоит в оптимальном выборе расположения узлов и значений весовых коэффициентов квадратурной формулы (с учетом интервала интегрирования и функции W(x)), чтобы в результате добиться максимально возможной точности при заданном числе узлов N. Квадратурная формула, построенная таким способом, носит название квадратурной формулы Гаусса. В случае, если f является полиномом степени не выше 2·N-1, квадратурная формула Гаусса позволит получить точное значение интеграла.

Квадратурная формула Гаусса

Весовые коэффициенты в формуле Гаусса всегда положительны, отсюда следует что количество узлов может достигать более сотни

Узлы и веса в формуле Гаусса

Узел (xi) – это точка из отрезка

Вес (весовой коэффициент) – коэффициент при значении функции в узле ( A*f(xi), здесь A –вес)

Использование ортогональных полиномов

Было сказано, что чтоб нормальная система решалась, система базисных функций Фи0, Фи1…Фиn должна быть линейно независима, но часто линейная независимость бывает «плохой» и из-за этого машина сталкивается с проблемами при их вычислении (независимость маленькая, погрешность вычислений большая, как следствие 2 уравнения могут показаться машине линейно зависимыми). Поэтому «лучшей» системой базисных функций является ортогональная система (ортогональные полиномы)

Квадратурная формула Гаусса — Лягерра аппроксимирует значения интегралов вида:

рядом по n точкам:

где x_i это i-й корень полинома Лягерра L_n(x), а коэффициенты w_i: ^[1]

19.Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнения первого порядка, интегральные кривые. Корректность вычислений задачи Коши по Адамару-Петровскому. Дискретизация задачи, сеточные функции. Устойчивость, аппроксимация и сходимость дискретной задачи. Простейшие методы интегрирования ОДУ. Метод Эйлера/ метод модификации Эйлера/ метод Рунге-Куты 4ого порядка и лабораторная работа на 6 «Решения ОДУ». Порядок аппроксимации, точность на шаге и погрешность искомого решения.

Рассматриваются уравнения первого порядка, разрешимые относительно первой производной с начальными условиями :

(6.1)

Существует теорема Коши о единственности решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Геометрически определяет поле направлений на плоскости , а решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) - интегральные кривые.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ основаны на том, что решение можно представить в виде разложения в ряд Тейлора с любой степенью точности.

Устойчивость

, где y0*-начальное значение с небольшой добавленной погрешностью, y*(t) – решение задачи Коши с таким начальным значением,

, где омега (или как это какашка называется) константа с произвольным знаком

Простейшие методы интегрирования ОДУ – наши методы из лаб, в частности метод Эйлера самый простой

Порядок аппроксимации:

И порядок аппроксимации (p-ый) определяется через оценку

, где C – коэффициент роста ошибки, h – шаг, p – порядко аппроксимации, а фи – погрешность, которая в формуле выше указана.

Погрешность аппроксимации