Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
privet_MEO_ot_informatikov.docx
Скачиваний:
3
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
721.53 Кб
Скачать

Тема 2.5. Числовые и степенные ряды.

Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u1u2,…,un,…. Выражение

  называется числовым рядом. Числа u1u2,…,un,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. un также называется общим членом ряда.

Члены ряда опред след суммы: S1=a1, S2=a1+a2,Sn=a1+a2+…+an;

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел   то он называется суммой ряда, а ряд называется сходящимся. Если   не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет. Разность rn между его суммой S и частичной суммой Sn: rn=S- Sn называют остатком ряда после n-го члена или n-ым остатком ряда. Подробнее,

Теорема. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

Основные свойства сходящихся рядов

  1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

  2. Сумма сход числ ряда умнож на const равно его сумме умнож на ту же const.

  3. Если числ ряды и сходятся, то сумма этих числ рядов также явл сход числовым рядом, при этом его сумма равна сумме исходных рядов: =

Сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q и с первым членом a1, a1≠0, вида a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+…=

Частичная сумма ряда , a1≠0, q≠1

Рассмотрим 4 случая

При   (так как | q |<1), поэтому

и ряд будет сходящимся.

Если q = 1, то ряд имеет вид

a1 + a1 + a1 + a1 + ... + a1 + ... .

  Сумма Sn первых его n членов, равная na, при Таким образом, ряд расходящийся. Если q = -1, то ряд примет вид

a1 – a1 + a1 – a1 + a1- a1 +... +(-1)n-1 a1 + ... . Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то a1, в зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что при частичные суммы стремятся ни к какому пределу. Ряд расходится

Если | q |>1, тогда  и, следовательно, , поэтому ряд является расходящимся и суммы не имеет

Гармонический ряд

Ряд вида называется гармоническим. Можно строго сказать, что он расходится.

Обобщенный гармонический ряд, или ряд Дирихле – это ряд вида

, где α – любое действительное число.

Ряд

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то   =0.

Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = un=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если  ≠0, то ряд u1+u2+…+un расходится.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  un=0 не следует, что ряд сходится.

Чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Числовой ряд называется знакоположительным, если un>0 при всех n=1,2,3… .

Для таких рядов частичные суммы S1S2, …,Sn,… образуют возрастающую числовую последовательность S1<S2<…<Sn<… .

Признак сравнения числовых рядов

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда      

причём 0<anbn при любых n=1,2,… .

Тогда:           

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд ; из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд . Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами

В качестве эталонного числ ряда использ ряд вида

Предельный признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда , причём 0<an<bn  Если существует конечный предел  ≠0, то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве этал – ряд Дирихле.

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , an>0,

и пусть существует предел  . При l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится. Если l=1, то признак не дает ответ

Признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , an>0, и пусть существует предел   

При l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится. При l=1 критерий Коши не позволяет определить сходимость/расходимость

Интегральный признак (признак Маклорена-Коши)

Пусть задан ряд, an>0, , для к-го существует монотонно убывающая

непрер ф-я y=f(x) на [1;∞) такая что f(n)=an.

Тогда сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный

интеграл

Знакопеременные ряды

Числ ряд наз знакомеременным, если его члены либо положит либо отрицат

Признак Коши сходимости знакоперем рядов

Числ ряд (1) сходится абсолютно, если сход числ ряд, сост из абсолютных значений (величин) исх ряда

Если числ ряд расходится, то числ ряд (1) наз условно сходящимся чил рядом

Теорема. Из абсолютной сходимоти числ ряда след сходимость исходного ряда, т.е. если сходится, то сходится исходный ряд

Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…++(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом, т.е. ряд в к-м члены попеременно меняют знак.

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

    (19)

Выполняются два условия:

  1. Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.

Степенной ряд

Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .

Если при x=x0 функциональный ряд сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S(x).

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 ,          (1) где c0, c1, c2, …, cn, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда. Рассматривают ряды более общего вида (по степеням разности (x-a), где а-некоторое число), а именно

  (2)

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при значении , то он сходится, и притом абсолютно, при всех x, удовлетв неравенству . Если этот степенной ряд расходится в точке x=x1, то он расходится для всех значений х, для к-х .

Для каждого степенного ряда, если он не является рядом сходящимся лишь в точке х=0, существует положительное число R такое, что при ряд абсолютно сходится, а при расходится. (Заметим, что некоторые ряды могут сходиться только в одной точке, тогда R=0, а некоторые – в любой точке числовой оси, тогда R= )

Число R наз радиусом сходимости, а интервал (-R;R) – интервалом сходимости, т.е. в точках x=-R и x=R, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Для ряда 2 интервал сходимости ряда принимает вид или a-R<x<a+R. Радиус сходимости степенного ряда можно определить по формулам

(3) или (4)

Док-во формулы (2)

Рассмотрим степенной ряд

По критерию сходимости Даламбера ряд, составленный из абсолютных величин членов данного СР сходится, если

Следовательно исх ряд будет сходиться, если

*

Свойства степенных рядов

  1. Сумма степенного ряда f(x) непрерывна внутри его интервала сходимости

  2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда имеют тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

  3. Пусть задан СР с областью сходимости (-R;R). Тогда сумма S(x) явл дифференцируемой функцией в инт (-R;R). Ее произв S'(x)=

  4. Для любого интеграла (α,β) (-R;R).

Ряды Тейлора и Маклорена

; P(x);

Вычислим производную P’(x)=3

Выразим через значение многочлена:

;

Tn(x)

Если функция f(x) является суммой степенного ряда на некотором промежутке то говорят что она разлагается в степенной ряд на этом промежутке или степенной ряд сходится к функции f(x) на указанном промежутке.

Пусть ф-я f(x) имеет в окрестности точки x=a производные любых порядков.

Степенной ряд

Называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x=a. Если а=0, то ряд Тейлора принимает вид

и называется рядом Маклорена.

Пусть

Доказано, что для любых x из окрестности точки x0 значение (*)

остаток многочлена Маклорена

При достаточно малых х с помощью формулы (*) можно полагать, что

Теорема. Ряд Тейлора сходится к данной ф-и f(x) тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости

Теорема(достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора). Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки х0 одним и тем же числом М>0, т.е. , то ряд Тейлора ф-и f(x) сходится к f(x) для любого х из окрестности

Теорема. Если ф-я разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Разложение функций в ряд Маклорена

– ряд Маклорена

– ряд Тейлора

Ряд М и Т явл степенными рядами спец вида

ex=1+x/1!+x2/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x5/5! –x77! +...+(-1)ⁿ x2n+1/(2n+1)!+...

(-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x4/4! – x6/6!+...+(-1)ⁿ x2n/(2n)!+…

(-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x4/4+...+(- 1)n-1 xⁿ/n+...

(-1<x≤1),

(1+x)m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1

Применение рядов в приближенных вычислениях

Пусть дан степенной ряд область сходимости D:

Числ ряд сходится и его сумма равна

Для того, чтобы вычислить значение степенного ряда в точке

, где

При этом возникает погрешность равная остатку , т.к. S(x)=Sn(x)=rn(x)

Для приближ вычисления знач-я суммы степ ряда при , заданной погрешностью

,число слагаемых n выбирают таким образом, чтобы (1)

Осн задача при приближ вычисл суммы степ ряда сост в мах n(числа слагаемых частичной суммы), при к-х выполняется нерав-во(1)

Приближ вычисления для знакочеред рядов

Т1. Для зад знакочеред числ ряда ;( ) справедливо утверждение:

Сумма числ ряда

Для зн/черед ряда справедливо утверждение

Таким обр для суммы зн/черед степ ряда справедливо нерав-во

Следствие1. Для остатка зн/черед ряда

справедливо утверждение (2)

из следствия1 вытекает, что для вычисл зн/черед ряда с точностью достаточно выбрать число n(число слагаемых частичной суммы), таковым что

(3)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]