Тема 2.3. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Пусть задана y=f(x) на некотором множестве Х. Тогда F(x), определенная на этом множестве, называется первообразной для данной функции, если она дифференцируема для любых х и F’(x)=f(x) Если F(x) – первообр-я, то любая ф-ия F(x)+c , где с-const, также является первообразной данной функции: (F(x)+c)’= =F’(x)+c’=F’(x). Вся совокупность первообр-х {F(x)+c | c } наз-ся НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ф-ии y=f(x). В записи : f(x) – подынтегр.функция, f(x)dx – подынтегр.выражение, x – переменная интегрирования.

Основные свойства неопред.интеграла (правила интегрирования):

1) ( )’=f(x)

2)

3)

4) (a=const, a )

5)

Неопределенные интегралы основных функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12) |x|<1

13) |x|<|a|, a

14) = -arcctgx+c

15) =

16)

17)

Интегрирование по частям.

Пусть заданы 2 дифференциальные функции u=u(x) и v=v(x) ; du(x)=u’(x)dx; dv(x)=v’(x)dx. Тогда .

. Доказательство: Дифференциал от произведения двух функций равен d(u*v)=vdu+udv. След-но, udv=d(uv)-vdu. Проинтегрируем обе части:  .

Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка).

когда нахождение интеграла f(x)dx затруднительно. Подстановки 2-х видов:

• Пусть задана х= - диффернецируемая по t функция. В этом сл.

• u= u-новая переменная. Формула замены переменной при такой подставновке:

. Это есть подведение ф-ии u= под знак дифференциала и эквивалентна замене переменной х на новую переменную u= .

Ин­тегрирование рациональных функций.

Функция называется дробной, если она равна отношению двух многочленов f(x)= , где ; . Дробь вида f(x)= называется простой (правильной), если m<n. В противном случаем называется неправильной. Введем понятие простейшей дроби: ф-ия вида , где r>0 , A,a-числа и выражение вида , B,C,p,q – числа -- это простейшие выражения. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ. При r≠ =A . Когда r=1, имеем табличный …=A Теперь интегрирование простейших выражений второго вида: . Рассмотрим . Он вычисляется посредством выделения в числителе производной квадратного трехчлена. Вычисляем по отдельности. Первый из полученных – подстановкой: = = . Интеграл при s=1 вычисляется поср-ом выделения полного квадрата: -> (табличный). При s>1 для вычисления интегралов используется формула следующего вида: (конспект, м.б.неточно записана!)

Интеграл интегрируется по тем же формулам с предварительным выносом коэффициента при х-квадрат за знак интеграла. = .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Многочлен n-ой степени разлаживается в произведение сл.вида:

. Каждому множителю соответствует сумма простейших дробей (1). Каждому вида ставится в соответствие сумма (2). - коэффициенты, значения неизвестны(непред. коэф-ты). Используя (1) и (2), отношение многочленов можно записать в виде сумм: (где i=1,2…k; j=1,2…l) + (3) Неизвестные коэффициенты из (3) находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов: Правая часть (3) приводится к общему знаменателю. Далее в числителе получ. выражения группируются коэф-ты при степенях х . В рез-те правая преобразуется к виду , где коэф-ми многочлена являются неопр. коэффициентами . Т.к. выполняется , то коэффициенты многочлена должны быть равны коэф-ам .

В результате приравнивания коэф-ов данных многочленов получаем алгебраическую систему уравнений, из которой находятся неопр. коэф-ты .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЕЙ. До интегрирования неправильной дроби , где m>n , проводится деление многочлена на . Получаем, что , где 0 k<n. Из (4) следует , что отношение , где – правильная дробь. Т.о. получаем: при m>n

Интегрирование тригонометрических выражений.

Выражений вида .

1) Если m – нечетное , то

2) Если n- нечетное n=2k+1, под знак подносим cosx: . В случае, когда n=2k и m=2l, используются формулы понижения степени: sinxcosx= ; 1- ;

Вычисление интеграла : вычисляются с применением тригонометрических ф-ий произведения. Сводятся к вычислению инт. от суммы.

Интегрирование иррац выражений. . Данный интеграл с помощью выделения полного квадрата в квадратном трехчлене сводится к инт след вида:

(1) ; (3) , где t=x+(b/2a) . Интегралы вида 1, 2, 3 вычисляются с помощью след подстановок:

а) вида (1): подстановки t=k*sin u ; б) вида (2): подстановки t=k*tg u ; в) вида (3): подстановки t=k / sin u. Применение подстановок а)-в) сводит интегралы 1-3 к инт-ам: .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА . Здесь R (x,y,y1,y2,yk). Данные интегралы выч-ся с пом подстановки , где S – наим общее кратное чисел n1, n2, nk.

Понятие определенного интеграла и его геометрическая иллюстрация. Свойства определенного интеграла.

Пусть задана y=f(x), определенная и непрерывная на [a,b]. Разобьем интервал n точками на отрезке [ ], где k=1…n ; длины отрезков . Выберем в каждом из данных отрезков точку , f( . Вычислим , k=1…n Просуммируем данные произведения: (1) Cумма (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии y=f(x) на [a,b]. Определение: Если существует конечный предел инт суммы (1), не зависящей ни от способа разбиения отрезка [a,b], ни от выбора точек , то данный предел наз-ся определенным интегралом данной ф-ии на отрезке [a,b]. (где дельта х = мах х длин отрезков разбиения)

ГЕОМ СМЫСЛ: Опред интеграл равен алг сумме площадей фигур, ограниченных графиком y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох.

СВОЙСТВА: 1) ; 2) =0 ; 3) ; 4) ; 5) = 6) Если f(x) для и a<b, то ) ( ; 7) Если для и a<b, то ; 8) Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и на [a,b], где m, M – некоторые числа, то ; 9) Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , то существует такая точка , что справедливо равенство (теорема о среднем значении); 10)Если ф-ия f(x) непрерывна и Ф(х)= , то справедливо равенство Ф’(x)=f(x), т.е. производная опред интеграла от непрерывной ф-ии f(x) по его переменному верхнему пределу х существует и равна значения подынт ф-ии при том же х. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона- Лейбница. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ. Выберем х= , которая дифференцируема на [ . Если х= и х= , то исх интеграл . Отличие метода подстановки для определенного интеграла – нет возврата!

ПО ЧАСТЯМ: Пусть заданы u=u(x), v=v(x) , диф-емые на [a,b]. Тогда ф-лу инт-ия по частям для неопр интеграла.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Применяется для вычисления площадей плоских фигур, длин плоск кривых и объемов тел в 3D.ПЛОСКИХ ФИГУР: Криволинейной трапецией наз-ся плоская фигура, огр графиком y=f(x) на [a,b], прямыми x=a , x=b и осью Ох. 1)S= ; 2) Плоская фигура ограничена y=f(x), y=g(x), определенные на [a,b] и g(x) для любых x . S вычисляется по ф-ле: S= ; 3)Вычисления y=f(x), y=g(x) , диф-ые на [a,b] . g(x) для любых x В этом случае S= , где х0, х1 – решение ур-ия g(x)=f(x).

ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ : Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b ]. В этом случае объем тела, образованного вращением около оси 0x криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми x=a , x=b и осью абсцисс , может быть найден по формуле: . Если вращение происходит вокруг оси 0у, то объем тела вращения находится по формуле:

ПЛОЩАДИ ПОВ-ТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ: 1) y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b ] – в случае вращения графика этой ф-ии: S= ; 2) В случае параметрического задания дуг кривой: x=x(t), y=y(t), t[t1,t2]

S= ; 3) В случае задания дуги кривой уравнением r=r( в полярных координатах .

ДЛИНА ДУГИ: Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, при условии, что количество звеньев ломаной линии неограниченно возрастает, и при этом длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю. Если дуга задана непрерывно дифференцируемой функцией y=f(x) , то ее длина l вычисляется по формуле :

Понятие о несобственных ин­тегралах и их сходимости.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных ф-ций газ несобственными интегралами.

Пусть ф-я непрерывна на промежутке и интегрируема на любом конечном его отрезке . Тогда несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом наз предел , к-й обознач символом , т.е. Если предел сущ и конечен, то несобственный интеграл наз сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично опред несобств интегралы на промежутке и :

Если сходятся оба интеграла в правой части последней формулы, то интеграл наз сходящимся, и расходящимся, если хотя бы 1 из них расходится. Если f(x) непрерывна для всех х отрезка [a,b], кроме точки с, в к-й f(x)имеет разрыв II рода, то по определению имеет разрыв II рода, то по определению , где изменяются независимо друг от друга.

Несобственный интеграл наз сходящимся, если оба предела в правой части равенства существуют, и расходящимся, если не существует хотя бы 1 из них.

В случае с=а или c=b получаем , или . При исследовании сходимости несобств инт-ов пользуются одним из признаков сравнения. 1) Если ф-ии f(x) и определены на промежутке [a; + ), интегрируемы на отрезке [a,A], где A и 0 для всех x , то из сходимости интеграла следует сх-ть интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расх-ть инт-ла . (признак сравнения). 2) Пусть на промежутке [a; + ) определены 2 положительные функции f(x) и , инт-емые на любом конечном промежутке [a,b]. Тогда , если существует конечный предел то интегралы и сходятся и расх-ся одновременно (предельный признак сравнения). 3)Если интеграл сходится, то сходится и инт-л . В этом случае инт-л называется абсолютно сходящимся. 4) Если при x -> + ф-я f(x)>0 является бесконечно малой порядка по сравнению с , то интеграл сходится при и расходится при На практике часто для сравнения используется ф-ия . Известно, что сходится при и расх-ся при Аналогичные признаки сх-ти можно указать и для инт-ов от разрывных ф-ий. Для сравнения в признаке 4) используют инт-л ( или , который сходится при и расх-ся при