Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпора коллоквиум 4.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
851.97 Кб
Скачать

22. Применение принципа максимума

Принцип максимума удобен для использования. В частности, с его помощью вычислялись траектории первых спутников.

При применении в основном используют 2 подхода:

1 Улучшение допустимых управлений.

Пусть дано некоторое управление . Вычисляем для него траекторию , и сопряжённую Вычислим гамильтониан:

и

Затем: . Если , то, очевидно, управление удовлетворяет условию максимума, то есть является экстремальным (подозрительным на оптимальное управление) согласно принципу максимума.

Если и максимум достигается на некотором , то по этому -малом строят игольчатую вариацию.

Из доказательства теоремы 2 видно, что существует такое ε, что то есть можно построить лучшее управление. С ним описанную операцию улучшения можно повторить.

2 Краевая задача принципа максимума.

Пусть в задаче функция f такая, что можно при каждом фиксированном вычислить , и пусть аргумент этой максимизации.

Тогда построим краевую задачу:

Система (17) – это система из 2n дифференциальных уравнений относительно неизвестных x(t) и и тогда управление , очевидно, удовлетворяет условию максимума и является экстремальным (то есть подозрительным на решение).

19.Пример в тоу(теория оптимального управления).

Пусть n=2, r=1 – уравнение движения,начальные условия: , время .Мн-во терминальный критерий качества.

  1. Выберем в качестве управления u(t): .

Очевидно, оно допустимое управление, так как одна точка разрыва Подсчитаем порожденную этим управлением траекторию.Рассмотрим , тогда из 1-го уравнения получим: .

аналогично находим: Рассмотрим :

2 Посчитаем цену этого управления:

3 Проверим для нашего управления выполнение условия максимума. Для этого нужно подсчитать сопр.траекторию :

Составим сопр. сист.:

Решим эту систему:

б) Подсчитаем на

4 Условие максимума.

Имеем: Подсчитаем

Наше исх. управление уд. усл. max и явл. экстремальным .

5 Покажем, что это управление не является опт-м. Это означает, что принцип максимума не является достаточным условием оптимальности.Выберем другое управление и подсчитаем траекторию:

и тогда Таким образом, То есть управление лучше чем не является оптимальной.

20. Решение терминальной задачи, методом динамического программирования

1 этап. Инвариантное погружение.

Рассмотрим произвольное число , и будем рассматривать траектории на . Получим задачу:

(18)

где – это часть допустимых управлений.

Это и будет семейство терминальных задач зависящие от двух параметров: .

Если в этом семействе положим , то придём к исходной задаче.

Оптимальное значение функционала в (18) назовём функцией Беллмана и будем обозначать .

2 этап. Построение уравнения Беллмана.

Возьмём некоторое положительное число и положим: u(t)=v(t) на , где v(t) – кусок допустимого управления.

Под воздействием v(t) траектория движения перейдёт от вектора .

Тогда имеем: (19)

Предположим, что, начиная с момента из состояния , система управляется оптимальным образом, тогда по определению функции Беллмана значение функционала будет следующим:

(20)

Предположим, что – кусок оптимального управления. Тогда будет выполняться соотношение:

(21)

(согласно принципу оптимальности Беллмана, а здесь кусок оптимальной траектории).

Разложим левые части в (20) и (21) в ряд при малых :

(22)

(23)

Сокращая обе части (22) и (23) разделив на и устремив к нулю получаем:

(24)

Из (24) вытекает:

(25)

(25) – уравнение для функции Беллмана относительно искомой функции . Это есть дифференциальное уравнение в частной производной, осложнённое операцией минимизации.

Чтобы его решить нужно задать краевые условия: они получатся из задачи (18), если в ней положить (тогда ) и то есть

(26)

3 этап. Достаточное условие оптимальности.

Предположим, что мы решили (25) и (26), и построили функцию Беллмана и нашли:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.