21.Достаточное условие оптимальности.

3 этап. Достаточное условие оптимальности.

Предположим, что мы решили (25) и (26), и построили функцию Беллмана и нашли: (27)

Теорема. Пусть из основного уравнения:

вычислена траектория

Тогда будет оптимальным управлением, если оно является допустимым, то есть кусочно-непрерывным.

Доказательство. Пусть u(t) – управление удовлетворяющее условию теоремы. Тогда поскольку оно удовлетворяет уравнению Беллмана (25), будет выполняться:

(28)

возьмём теперь и пусть , порождённая этим уравнением траектория. Подставляя их в (25) получим:

(29)

Перенеся в (28) и (29) все слагаемые в правую сторону замечаем, что там будет находиться полная производная от функции Беллмана по t, то есть:

(30) (31)

Проинтегрируем (30) и (31) по T, получим:

То есть .

То есть .

А это и означает, что наше управление является оптимальным в терминальной задаче