9. Канонические переменные и Каноническая система

По ОЗВИ построим функцию (15), считая, что переменная выражена через из выражения

(16)

Функция называется гамильтонианом задачи.

Т. Уравнение Эйлера эквивалентно канонической системе:

(17)

Доказательство. Необходимость. Пусть решение уравнения Эйлера, положим тогда и покажем, что пара и удовлетворяет уравнению (17): (I-е уравнение (17) верно)

Достаточность. Пусть пара – решение системы (17). Докажем тогда, что функция y удовлетворяет уравнению Эйлера: тогда с одной стороны по (16): а с другой стороны:

Следствие теоремы 5. Вдоль решения системы (17): .

8. Условие Вейерштрасса-Эрдмана

О. Некоторую функцию будем называть кусочно-непрерывной, если эта функция имеет на [a,b] конечное число разрывов I-го рода. Обозначается множество таких функций PC[a,b].

Будем говорить, что функция является кусочно-гладкой на [a,b], если сама она непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна.

В этом случае .

Введём множество допустимых кривых следующим образом: .

Рассмотрим вариационную задачу вида: (18)

Т. Пусть – слабая минималь задачи (18), а точки – точки её излома. Тогда на каждом отрезке должна удовлетворять уравнению Эйлера: А в каждой точке излома выполняется условие Вейерштрасса-Эрдмана:

(19)

Доказательство. Пусть – слабая минималь:

(20)

Рассмотрим теперь точки излома . Поскольку справа в тождестве (20) стоит непрерывная функция x (интеграл с переменным верхним пределом), то она будет непрерывна и точках излома, следовательно, будет непрерывна в точках излома левая часть (20), а условие непрерывности можно записать в виде (19).

10. Присоединённая задача на минимум. Лемма 1 и 2

если – слабая минималь, то , что значит:

(1)

Пусть зафиксирована некоторая допустимая кривая .

Обозначим: в (1), и рассмотрим задачу вариационного исчисления:

(2)

Она называется присоединённой задачей на минимум вдоль допустимой кривой у. По своему типу задачи (2) относятся к ОЗВИ, только в ней в место

Если у нас – слабая минималь задачи, то функцию будем обозначать .

Лемма 1. Присоединённая задача на минимум вдоль слабой минималь ОЗВИ всегда имеет решение (по крайней мере, тривиальное).

Доказательство. Пусть в (2) , тогда очевидно:

то есть функционал присоединённой задачи на минимум ограничен снизу нулём.

Если взять тривиальную , то очевидно функционал достигает нулевого значения.

Таким образом, тривиальная вариация будет решением задачи.

Ч.т.д.

Лемма 2. (3)

Доказательство.

(I)

(II)

Если теперь (I) умножить на h, а (II) на , и сложить, то получим в результате

Ч.т.д.