Независимые события

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство  .

Определение 1. Два события   независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем  , ненулевая, то есть  , определение независимости эквивалентно:

то есть условная вероятность события   при условии   равна безусловной вероятности события  .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий  , где   — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий  . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий   верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

• : монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;

• : монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;

• : монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события   произошли, мы знаем точно, что   также произошло.

11.Формула полной вероятности

Пусть событие В может наступать только при условии появления одного из событий А_i, образующих полную систему событий. Тогда  вероятнсть события В равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Аi на соответствующую условную вероятность события А:

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

12.Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были Р(А), то с учетом появления в результате опыта события В условная вероятность Р(A|B) вычисляется по формуле Байеса:

13.формула Бернулли

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:  , где  .

[править]Доказательство

Так как в результате   независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие   наступает с вероятностью  , следовательно противоположное ему событие с вероятностью  .

Обозначим   — наступление события   в испытании с номером  . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате   опытов событие   наступает   раз, тогда остальные  раз это событие не наступает. Событие   может появиться   раз в   испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из   элементов по  . Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

, где  .

14.локальная теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа 

где   - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A при каждом испытании;  .

15.интегральная теорема Лапласа

   Интегральная теорема Лапласа 

где   - вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится не менее k₁ и не более k₂ раз;   - функция Лапласа;  ;  .

     Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности 

     Наивероятнейшее число k₀ появления события A при n независимых испытаниях

(n - число испытаний; p - вероятность появления события при одном испытании).

16.дискретные и непрерывные случайные величины

Одним из основных в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина - это величина, принимающая те или иные значения в зависимости от случая. Примерами случайных величин могут быть: число выпавших очков, при подбрасывании игральной кости; число попаданий в цель при k выстрелах и т.д.  Множества всех случайных величин в зависимости от типа их распределения делится на три класса: дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины исингулярные случайные величины. В этой статье мы рассмотрим первые два класса:дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины.