Билет №18

1. Поток напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса и ее применение для расчета электрических полей.

2. Диффузия и броуновское движение.

1. Поток вектора напряженности электростатического поля

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности NE.

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

Где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как , то

Где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхность численно равен количеству линий напряженности, пронизывающих эту поверхность. Эта простая геометрическая интерпретация позволяет наглядно проиллюстрировать одно важное свойство электростатического поля.

Рассмотрим поле точечного заряда и найдем число линий Nr, пересекающих сферическую поверхность радиуса r, окружающую заряд q. Пусть заряд лежит в центре нашей сферы. Напряженность поля на этой сферической поверхности будет всюду одинаковой и, согласно (1.6), составит:

Напомним, что эта величина Е численно равна количеству линий, приходящихся на единицу площади этой сферы, следовательно, полное число линий, пересекающих сферу, будет равно ЕS, где S - площадь сферы, равная 4pr2. Итак,

Теорема Остраградского-Гаусса:

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре (рис. 13.6).   Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы   , следовательно

т.к.    Тогда поток напряженности   будет равен

Используя формулу напряжённости, находим

(13.6)

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью S’. Каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно формула (13.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если произвольной поверхностью окружаем n зарядов, то очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов, т.е.

или

(13.7)

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на   . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы