5) Волновые свойства частиц, уравнения длины волны Де Бройля:

Два постулата де Бройля:

1) любой материальной частицей обладающей импульсом Р сопоставляется волновой процесс, длина волны которого – формула длины волны де Бройля

h - постоянная планка,

2) энергия движущейся материальной частицы , где – частота соответствующая длине волны де Бройля материальной частицы. Если частица движется с малой скоростью , , ,

Если скорость частицы соизмерима со скоростью света в вакууме, то длина волны де Бройля определяется с использованием законов специальной теории относительности , тогда

m₀ – масса покоя частицы, λ- длина волны релятивисткой частицы

Свойства волн де Бройля:

Волны де Бройля ( волны материи) обладают определенными свойствами, так как длины волн де Бройля значительно меньше даже чем длины γ-излучений.

Волны де Бройля связаны с частицами вещества и имеют специфическую природу для которых нет аналогов в классической физике, следовательно законы классических механизмов не всегда можно применять к описанию движения различных частиц.

Длина волны и частота связаны соотношением , где - частота волн де Бройля, - фазовая скорость , а групповая скорость равна скорости движения частиц на которую не действуют внешние силы, т.е. частицы движутся свободно.

Энергия частицы связана с длиной волны де Бройля ; ; ;

- циклическая частота волн де Бройля, приведенная постоянная Планка.

6) Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Гейзенберг установил соотношение неопределенности координат и импульсов микрочастиц, так как частицы вещества обладают корпускулярно-волновой природой, то для описания их движения вводят ограниченные в применении к микрочастицам законов классической механики. В классической механике каждая частица движется по заданной траектории и в любой момент времени точки можно зафиксировать её координаты и импульс, если учитывать волновые свойства частиц, то нельзя говорить о движении частицы по определенной траектории и одновременно точных значений её координат и импульсов. Гейзенберг учитывая волновые свойства микрочастиц, пришел к вывод, что неопределенность координат и импульсов удовлетворяет условие:

- произведение неопределенности координаты на неопределенность импульса не может быть постоянной планка. ;

∆P_х - погрешность в определение проекции импульса на ось х,

∆P_у - погрешность в определении проекции на ось у

∆P_z - погрешность в определении проекции на ось z

Для энергии движения частиц также существует соотношение неопределенности, иначе говоря, в квантовой теории рассматриваются неопределенности для энергии Е и времени t

∆E - неопределенность энергии некоторого состояния системы

∆t - промежуток времени в течении которого наблюдается это состояние.

Соотношение неопределенности Гейзенберга применяется для оценки границ применимости законов классической механики.

7) Распределение числа частиц по высоте. Распределение Больцмана

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р, то на высоте h+dh оно равно p + dp. Разность давлений р и p + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м²:

где р — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно, .

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = (m/M)RT (т — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Получаем:

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от р₁ до р₂:

; ; - барометрическая формула. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение может быть записано в виде

где р — давление на высоте h.

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением p = nkT:

где n — концентрация молекул на высоте h, n₀ — то же, на высоте h = 0. Так как М = m₀N_A (N_А — постоянная Авогадро, m₀ — масса одной молекулы), a R=kN_A, то

где — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

Это выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Бели частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.