Статистическая интерпретация волн деБройля

Для любых частиц справедливо одно и то же значение постоянной Планка

h = p.

С каждой метриальной частицей связана волна, групповая скорость которой равна скорости частицы.

.

E = 2h; p = 2hk; =2/k=h/p

Фазовая скорость волны V_ф = /k = E/p = c²/V c. (E = mc²; p = mV).

Групповая скорость V_гр =d/dk = dE/dp = V. (dE = V dp).

Физический смысл волн деБройля:

а) Шредингер: частица – волновой пакет электромагнитных волн. При этом возникает противоречие - волны деБройля обладают дисперсией в вакууме. Следовательно, волновой пакет будет неустойчив, он будет распадаться при распространении частицы в пространстве.

Примечание: устойчивый волновой пакет – солитон может устойчиво существовать в нелинейной среде, которая при определенных условиях может компенсировать дисперсионное расплывание волнового пакета.. Солитоны – предмет современных исследований.

б) волны деБройля колебания ансамбля частиц. Такое представление противоречит опыту: отдельные частицы обладают волновыми свойствами.

в) Вероятностная интерпретация волн деБройля (М. Борн, Нобелевская премия 1954 г.): Величину, квадратично зависящую от амплитуды волн, следует интерпретировать как величину, пропорциональную вероятности процесса.

Волны деБройля – волны вероятности. Интенсивность волны деБройля пропорциональна вероятности обнаружить частицу заданном месте и в определенный момент времени. (r,t) – амплитуда вероятности.

Полное описание состояния частицы дается не плоской волной деБройля, а комплексной функцией (r,t) координат и времени. Эту функцию назвали волновой функцией.

Волновая функция не относится к числу измеряемых величин. Ее значение позволяет статистически предсказывать значения величин, измеряемых экспериментально. Физический смысл имеет модуль волновой функции - *.

Математические методы расчетов волновой функции составляют важный раздел современной физики - квантовую механику.

Основной принцип квантовой механики – принцип суперпозиции волновых функций – аналог суперпозиции волновых полей.

Соотношения неопределенностей (Гейзенберга) (1927)

Микрочастицы являются волнами де Бройля. Волна принципиально не может покоится. Она не имеет смысла в точке. Поэтому существует полная аналогия между явлениями дифракции, интерференции и образования волновых пакетов в оптике и физике микрочастиц. Так были установлены соотношения или принцип неопределенности Гейзенберга.

Не существует состояний частицы с точно определенными значениями координаты и составляющей импульса в направлении этой координаты.

Сосотояния частицы, существующее ограниченное время не имеют точно определенной энергии.

Рис. 28. Дифракция Фраунгофера на щели (нормальное падение).

Распределение интенсивности света на экране в этом случае описывается выражением:

.

По квантовым представлениям фотон попадает в каждую точку на экране с вероятностью, которая также описывается приведенным выражением.

Импульс фотона: р_ф = h/; ;

Соотношение справедливо для любых волн, в том числе и для волн деБройля.

Аналогично:

Рассмотрим спектральное разложение ограниченного во времени цуга волн

Амплитуда

Время.

Рис. 29. Волновой пакет с прямоугольной огибающей.

Длительность цуга - . Частота колебаний - ₀. Период колебаний – Т₀.

По аналогии с предыдущим случаем:

Если длина волнового пакета равна Х, то волновые числа, необходимые для его образования не могут занимать сколь угодно узкий интервал значений.

Чем короче длительность импульса, тем шире его спектр.

Соотношения неопределенностей это неравенство, а не точное соотношение. Значение константы в правой части соотношений зависит от реального распределения энергии в волновом пакете или пучке в пространстве или во времени.

Из соотношения между энергией и длительностью волнового пакета следует, что так как длительность существования стационарного состояния атомной системы бесконечна, то энергия этого состояния может быть определена точно.

Естественная ширина спектральной линии определяется длительностью с существования возбужденного состояния t атомной системы, то есть минимально возможная ширина спектральной линии равна 1/t.

В атоме Бора электрон не может «упасть» на ядро: при этом резко возрастает неопределенность его импульса и энергия. Существует оптимальное расстояние, для которого энергия электрона минимальна. Это и объясняет устойчивость атома водорода.

Соотношения Гейзенберга дают простой и по-видимому не совсем корректный метод оценки величин в атомной и ядерной физике.

Уравнение Шредингера (1926) – основное уравнение нерелятивистской квантовой теории.

Стационарные состояния – это состояния, в которых средние значения всех наблюдаемых физических величин не меняются с течением времени:

Рис. 30. Система координат в квантовомеханической теории атома водорода.

Состояние электрона в атоме водорода в классической модели определяется тремя значениями координат или радиусом вектором и двумя углами  и . В квантовой механике каждое возможное состояние электрона в атоме задается тремя дискретными квантовыми числами: n – главное квантовое число; l – орбитальное кантовое число; m – магнитное квантовое число. Два последних числа определяет модуль момента импульса и проекцию момента импульса на ось Z.

l = 0,1,2 3…(n-1). m =0,1,2,…l.

Полное число различных состояний для данного n равно n² (с учетом спина электрона 2n²).

Состяния электрона с одинаковой энергией называют вырожденными .

Некоторые решения уравнения Шредингера для атома водорода:

Рис. 31. Сферически симметричные распределения электронного облака в некоторых состояниях электрона в атоме водорода.

В состоянии 1s,в отличие от теории Бора, угловой момент электрона равен нулю. Распределения плотности электрона в атоме для высоких орбит имеет вид сложных объемных фигур, не имеющих аналога в Боровской теории, в частности, траектории электрона могут пересекать положение атомного ядра.

СПИН ЭЛЕКТРОНА

Спин (spin) – собственный механический (вращательный) момент элементарных частиц, не связанный с перемещением частицы, как целого.

Спин равен

Спин фотона равен 1 (эффект Садовского).

Частицы с целым спином называют бозонами, частицы с полуцелым спином – фермионами.

Концепция спина введена в физику в 1925 г. (Дж. Уленбек и С. Гаудсмит) для объяснения :

1. Тонкой структуры спектров атомов.

2. Эффекта Зеемана.

3. Закономерностей периодической системы элементов Менделеева.

4. Ферромагнетизма.

Если первую линия серии Бальмера 656,3 нм (n = 3  n = 2) рассматривать с помощью высокоразрешающего спектрографа, то она оказывается двойной, то есть «дублетом» с рассстоянием между линиями  = 0, 14 нм (/ = 2 10^-4). Линии серии Лаймана тоже дублеты с  = 0,53 нм.

Существование тонкой структуры спектральных линий свидетельствовало о недостатках теории, ее не объясняющей.

Дублетную структуру спектральных линий объясняют «спин-орбитальным взаимодействием».

Спиновое квантовое число s для электрона в атоме равно 1/2.

Рис. 32. Эффект Зеемана (1896) - эффект расщепления спектральных линий при помещении излучающих свет атомов в магнитное поле.

Классическая теория дает Ларморовский триплет ₀ . Каждый уровень расщепляется на 2l + 1 подуровней.

Рис. 33. Аномальный эффект Зеемана – расщепление спектральных линий атомов в магнитном поле на четное число компонент.

Существование аномального эффекта Зеемана объясняется существованием не только орбитального, но и собственного магнитного момента электрона.

МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

После введения Н. Бором планетарной модели атома водорода в физику вошел ряд новых атомных постоянных, представляющих собой комбинацию фундаментальных физических констант. Причем, эти постоянные сохранили свою роль и с переходом к квантовомеханическому описанию атомных процессов. Это боровский радиус, постоянная Ридберга, магнетон Бора и постоянная тонкой структуры.

Радиус орбиты электрона, находящегося на первой боровской орбите в атоме водорода, - боровский радиус: a₀ = h²₀/(m_ee²).

Постоянная тонкой структуры равна отношению скорости движения электрона по первой боровской орбите к скорости света  = ₀ce²/(2h)  1/137.

Магнитный момент плоского витка с током равен скалярному произведению силы тока I на площадь витка S. Направление вектора магнитного момента определяется обычным правилом правого винта. m = I S n, где n - единичный вектор положительной нормали к площадке, охваченной витком.

В боровской модели атома электрон, вращающийся по первой орбите со скоростью v, создает ток I = e 2 a₀/ v. Если в приведенное выражение подставить значения, радиуса первой боровской орбиты и скорости электрона для атома водорода, следующие из теории Бора, то значение орбитального магнитного момента электрона можно выразить через фундаментальные физические константы.

Магнитный момент электрона, движущегося по первой боровской орбите, назвали магнетоном Бора _B = eh/(2m_eс).

Постоянная Ридберга, определяющая структуру спектра атома водорода (спектральные серии), в теории Бора также выражается через фундаментальные физические константы: R_ = 2²₀e⁴/(ch³).

Это значение соответствует случаю пренебрежения массой электрона по сравнению с массой протона. Движение протона и электрона относительно общего центра масс в атоме водорода приводит к другому значению постоянной Ридберга, которая отличается малым поправочным множителем: (1 + m_e/m_p). Численное значение R_ получено по измерениям длин волн спектральных серий атомарного водорода (без учета тонкой и сверхтонкой структуры спектра).

Орбиты электрона в боровском атоме водорода подчиняются правилу квантования момента количества движения электрона: L_n = m_evn r_n = n h/(2), n = 1,2,3...., v_n и r_n - соответственно скорость электрона и радиус его орбиты. Таким образом, механический момент электрона в атоме всегда квантован, а орбитальный магнитный момент электрона оказывается однозначно связанным с его механическим моментом. Отношение этих моментов называют гиромагнитным (или магнитомеханическим) отношением. Г = _B/L₁ = - e/(2m_e).

Для объяснения тонкой структуры атомных спектров и расщепления спектральных линий в магнитном поле (эффект Зеемана) в физику в 1925 г. было введено понятие спина - собственного момента количества движения электрона, равного /2. Оказалось, что спином или /2 обладают почти все элементарные частицы.

Квантово-электродинамический расчет дает гиромагнитное отношение для электрона в два раза большее, чем для орбитального движения электрона. Поскольку спин электрона равен /2, то собственный магнитный момент электрона также равен магнетону Бора.

Точные измерения магнитного момента электрона показали однако, что эта величина равна магнетону Бора лишь приближенно. Поправку, назвали аномальным магнитным моментом электрона. В квантовой электродинамике аномальный магнитный момент электрона рассчитывают с помощью введения радиационных поправок, т.е. путем учета взаимодействия электрона с так называемыми нулевыми колебаниями физического вакуума. Вычисленное значение магнитного момента электрона

_e = _B [1 + 0,5/ - 0,328478(/)² + 1,184175(/)³]

находится в хорошем согласии с результатами измерений.

Аномальным магнитным моментом обладают многие другие элементарные частицы. Так, для протонов аномальный магнитный момент больше "нормального" ядерного магнетона _p = eh/m_p в 2,79 раза. Хотя нейтрон и не обладает электрическим зарядом, но его магнитный момент также существует и значительно больше ядерного магнетона - 1,91_р.

Удовлетворительной теории, магнитных моментов массивных элементарных частиц пока не существует.

Движение заряженных частиц в электромагнитных полях в вакууме

Развитие техники получения направленных электронных пучков в вакууме, которую начал развивать английский физик Крукс в середине XIX века, привела к открытию Дж.Дж. Томсоном первой элементарной частицы - электрона. Электронные пучки нашли широчайшее применение в телевидении, технике генерирования сверхвысокочастотных электромагнитных колебаний, электронных ускорителях, электронной микроскопии.

При движении заряженной частицы вдоль силовых линий электрического поля изменяется ее кинетическая энергия. При наличии поперечной составляющей поля изменяется и траектория заряженной частицы.

Движение электрона в однородном магнитном поле не изменяет его кинетической энергии, так как сила, действующая на частицу, всегда перпендикулярна направлению ее движения. В общем случае траектория частицы представляет собой спираль, ось которой параллельна силовым линиям магнитного поля. Такое движение сопровождается излучением и поглощением ускоренно движущейся частицей электромагнитного излучения на резонансной (циклотронной) частоте: _с = eH/m_ec, которая пропорциональна напряженности магнитного поля Н и комбинации фундаментальных физических констант. Циклотронная частота определяет разность энергий между уровнями энергии частицы в магнитном поле. Ее измерение позволяет точно измерить комбинацию констант e/m_ec. Основные ограничения на точность измерений при этом накладывают погрешность определения напряженности магнитного поля и его пространственная неоднородность.

Эффект резонансного поглощения радиоизлучения ионами на циклотронной частоте используюет в циклотронно-резонансных масс-спектрометрах для точного определения масс ионов.

В проводниках это явление приводит к циклотронному резонансу - появлению избирательного поглощения электромагнитных волн образцом из полупроводникового материала, помещенным в магнитное поле, на частотах, равных или кратных циклотронной частоте. Циклотронный резонанс наблюдают лишь в сравнительно сильных магнитных полях и при низких температурах, т.к. носители зарядов в веществе должны совершить много оборотов по спирали, прежде, чем произойдет столкновение с другими частицами вещества. Циклотронный резонанс в полупроводниках наблюдается на частотах 10¹⁰...10¹² Гц в полях 1... 100 кЭ при температурах 1 ...10 К. Циклотронная частота в веществе _с = eH/m_e^*c, где m^* - эффективная масса носителя заряда в веществе, которая отличается от массы частицы в вакууме.

Магнитные моменты элементарных частиц

На материальную частицу, (рассматриваемую как твердое тело), обладающую спином и собственным магнитным моментом, равным магнетону Бора , во внешнем магнитном поле В действует сила, перпендикулярная оси вращения частицы:

dL/dt = [ B] =  [L B],

где  - гиромагнитное отношение частицы, L - момент инерции частицы.

Это уравнение, описывающее движение волчка. Как известно, под действием силы, направленной под углом к оси вращения, волчок совершает вынужденную регулярную прецессию, которую видел каждый, наблюдая за вращением детского волчка.

Прецессия (см. рис.) -вращательное движение твердого тела вокруг оси вращения, связанной с телом, с некоторой угловой скоростью  и вращения этой оси с угловой скоростью  вокруг другой оси - оси прецессии, условно принимаемой неподвижной в некоторой системе координат.

 z

z`  

0 y

x

Рис. 34. Прецессия вращающегося твердого тела.

Ось вращения тела описывает при этом вокруг оси прецессии прямой круговой конус. Угол  между указанными осями вращения называется углом прецессии. В случае, если угол прецессии  постоянный - то движение тела называют регулярной прецессией. Если  изменяется в процессе движения - тело совершает нутацию. При этом конец оси вращения тела будет описывать эллипс.

Угловая скорость прецессии частицы, поведение которой описывается механической моделью волчка, равна:

 = -  B = g .

Магнитный момент электрона

Магнитный момент свободного электрона в магнетонах Бора или, что эквивалентно, g - фактор свободного электрона g_s = наиболее точно был измерен в классическом эксперименте Уилкинсона и Крейна 1963 г. Пучок электронов в магнитном поле обладает двумя характерными резонансными частотами поглощения или испускания электромагнитных волн:

• циклотронной ( ), - связанной с частотой вращения электрона по окружности его спиральной траектории, ось которой совпадает по направлению с магнитным полем,

• частотой прецессии спина электрона (рассматриваемого как твердое тело) в магнитном поле. Прецессия спина электрона происходит вдоль оси прецессии, совпадающей с направлением поля Н с частотой

_е = -  H = g .

Измерение разности указанных резонансных частот для пучка электронов в магнитном поле, созданном прецизионным соленоидом, позволило точно определить аномалию g - фактора: с относительной погрешностью 0,027 10^-4%.

В дальнейшем это отношение неоднократно уточнялось за счет совершенствования экспериментов, основанных на том же принципе - измерении  = _е - _с. В частности, более точные данные удалось получить за счет удержания электронов в однородном магнитном поле за счет одновременного применения квадрупольного электростатического поля. При этом обе частоты измеряются в одинаковом поле в одном и том же месте. Современное экспериментальное значение а_е = _е/_В - 1 известно с точностью до 12 значащих цифр.

Расчеты методами квантовой электродинамики позволяют вычислить аномальный магнитный момент электрона и представить его в виде разложения по степеням постоянной тонкой структуры 

Швингер в 1949 г. впервые подсчитал коэффициент А₁ и получил А₁=1/2. Второй член вычисляется в четвертом порядке теории возмущений. Он был вычислен к 1962 г. А₂  - 0,32847897...Третий член разложения был вычислен к 1971 г. А₃ = (1,49  0,2). Если использовать значение ^-1 = 137,03608, то а_е = 0,0011596553. Девять первых знаков этой величины совпадают с экспериментальным значением.

Магнитный момент протона

Магнитный момент протона точно определен методом ядерного магнитного резонанса (ЯМР). ЯМР - один из методов радиоспектроскопии, наблюдается, когда на исследуемый образец действуют взаимно перпендикулярные магнитные поля: сильное постоянное поле и слабое радиочастотное с частотой 1 ... 10 МГц.

ЯМР, как и другие виды магнитного резонанса, объясняют в рамках полуклассической модели протона. Протон считают жестким заряженным волчком, вращение которого приводит к появлению собственного магнитного момента. Помещение такого волчка в постоянное внешнее магнитное поле Н₀ приведет к прецессии: вращению протона вокруг оси прецессии, параллельной Н₀ с характерной резонансной частотой:

_p = 2_p Н₀/h. При этом направление вектора магнитного момента протона всегда будет составлять с осью прецессии некоторый неизменный угол .

Прецессия протона создает переменный магнитный момент _рsin , вращающийся в плоскости, перпендикулярной Н₀. Переменное внешнее магнитное поле взаимодействует с этим полем, когда частота внешнего поля близка к частоте прецессии протона, а направления вращения внешнего поля (используется переменное электромагнитное излучение с круговой поляризацией) и прецессии протона одинаковы. При резонансе возникает явление ядерного магнитного резонанса - избирательное поглощение электромагнитной энергии веществом, связанное с ядерным парамагнетизмом. Таким образом, измерение резонансной частоты ЯМР исследуемого вещества в магнитном поле позволяет определить магнитный момент протонов и ядер атомов.

Ядерный парамагнетизм впервые был обнаружен в 1937 г. Л.В. Шубниковым в твердом водороде. ЯМР в молекулярных и атомных пучках впервые наблюдался американским физиком И. Раби в 1937 г. В 1946 г. Э. Парселл и Ф. Блох (США) разработали методы наблюдения ЯМР в конденсированных средах, в которых ядерные моменты взаимодействуют не только с внешними полями, но и с магнитными полями окружающих атомов, вследствие чего возникает спектр резонансных частот ЯМР.

Отношение магнитного момента протона к его механическому моменту (равному, как известно, /2) называют гиромагнитным отношением протона. Эта величина непосредственно измеряется в экспериментах, так как она равна:

.

Магнитный момент ядра атома примерно в тысячу раз меньше магнитного момента, связанного с орбитальным движением электрона его оболочки. Магнитный момент протона впервые удалось измерить Штерну с сотрудниками в классических опытах с пучками атомарного водорода. Оказалось, что он примерно равен 2,5 ядерным магнетонам. Это значение сильно отличается от величины ядерного магнетона _р , которую можно было бы ожидать по аналогии с электроном, имеющим магнитный момент близкий к значению магнетона Бора.

В 60-е годы были осуществлены точные измерения магнитного момента протона при помощи специально созданных приборов - циклотронов особой конструкции. Одновременно были разработаны методы измерения гиромагнитного отношения протонов в воде. Обе серии измерений после многократных уточнений дали согласованные значения магнитного момента протона: _р = 1,41060761(47) 10^-26 Дж/Тл , отношение магнитного момента к ядерному магнетону _р/_N = 2,792 847 386(63) и гиромагнитное отношение _р = 26 752 212 8(81) 10⁴ Гц/Тл.

Аналогичными методами были систематически измерены магнитные моменты всех нуклидов. Методом магнитного резонанса измерены также магнитные моменты элементарных частиц, пучки которых можно получить от атомных реакторов или с помощью ускорителей

Спины и измеренные значения магнитных моментов частиц и некоторых ядер приведены в таблице.

Частица, ядро, стандартное обозначение	Спин в единицах	Магнитный момент в электронных и ядерных магнетонах Бора
Электрон, е	1/2	1,001 159 652 193 (10)
Мюон, 	1/2	8,890 598 1 (14)
Протон, р	1/2	2,792 847 386 (63)
Нейтрон, n	1/2	- 1,913 042 75 (41)
Дейтрон 21Н	1	- 0,857 437 6 (4)
Тритон 31Н	1/2	2,978 960 (1)
42Не - -частица	0	0
32Не - ядро гелия-3	1/2	- 2,127 624 (1)
126С	0	0
168О	0	0
20882Pb	0	0

Отрицательное значение магнитного момента означает, что он направлен противоположно спину ядра или частицы. Измерения спектров атомов и магнитных моментов их ядер позволили сделать вывод: нейтроны и протоны в ядрах, располагаются таким образом, что их спины и магнитные моменты почти полностью взаимно компенсируются. Полная компенсация наблюдается для всех четно-четных ядер, имеющих четное число как протонов, так и нейтронов.

Теория магнитных моментов нуклидов, измеренных с точностью до 6... 7 знака, в современной физике отсутствует, она существует только для электрона и мюона.