15.2. Тепловое излучение

Опыт показывает, что излучение, выходящее через малое отверстие из замкнутой полости, зависит только от температуры стенок полости и не зависит от материала, из которого она изготовлена. Излучение, находящееся внутри полости, стенки которой имеют постоянную температуру, называют равновесным тепловым излучением.

Спектральное распределение энергии в спектре нагретого тела удобно моделировать излучением абсолютно черного тела – тела, поглощающего все падающее на него излучение. Малое отверстие в полости – хорошая модель абсолютно черного тела. Тот факт, что спектр излучения абсолютно черного тела зависит от единственного параметра – температуры, позволило сформулировать два эмпирических закона: закон Стефана-Больцмана и закон Вина.

Закон Стефана- Больцмана постулирует пропорциональность энергии равновесного излучения теплового излучения, излучаемого с единицы площади черного тела на всех длинах волн, четвертой степени температуры тела:

, (15.1)

коэффициент  = ²k²/(60³c²) = 5,67051(19)10^-8 Вт м² К^-4 называют постоянной Стефана-Больцмана. Функция Е_а – пропорциональна площади, находящейся под спектральной кривой рис.15.1.

Максимум этой кривой смещается в сторону меньших длин волн с ростом температуры. Эта особенность излучения нагретых тел описывается законом смещения Вина:

_max = b/T, (15.2)

где константа b = 0,2898 смК – постоянная Вина.

Рис.16.1. Спектры черного тела. Спектральное распределение энергии в спектре зависит только от температуры тела.

С пектр равновесного теплового излучения описывают формулой Планка, которая имеет фундаментальное значения в физике. Этот спектр не зависит от материала, из которого изготовлено излучающее абсолютно черное тело и от его размеров.

Макс Планк (1838 – 1947) «Научная истина торжествует по мере того, как вымирают ее противники»

Планк предложил два варианта формулы для объемной плотности равновесного теплового излучения в зависимости от длины волны F(λ)

, (21.3)

и для объемной плотности излучения в шкале частот G(ν):

, (21.4).

где λ – длина волны, h – постоянная Планка, с – скорость света, где ν – частота, k – постоянная Больцмана, Т – температура излучающего абсолютно черного тела.

Эти два варианта, описывающие спектр одного и того же излучения, дают не согласующиеся между собой положения максимума спектральной кривой. Если сопоставить эти два максимума на шкале длин волн путем перехода от частоты к длине волны с помощью соотношения

,

то они различаются почти в два раза [3].

Два различных положения одного и того же максимума не могут подтверждаться экспериментом так как им соответствуют разные значения энергии светового кванта. И, действительно, точные измерения для модели черного тела в области низких температур, для которых максимум спектра находится в области радиоволн, частоты и длины волн которых можно прямо измерить, подтверждают лишь один вариант формулы Планка – (15.4) для шкалы частот.

Однако в оптическом диапазоне спектра обычно пользуются формулами (15.2) и (15.3).

Рис.15.2. Зависимость энергетической светимости (отношение потока излучения, испускаемого площадкой источника излучения, к её площади) абсолютно черного тела в функции длины волны излучения (черные линии – экспериментальные данные, синие линии – теоретические кривые, которые подсчитаны по формуле Планка.

Из рисунка мы видим, что экспериментальные и расчетные графики различаются, как в коротковолновой, так и в длинноволновой частях спектра и их согласие носит скорее качественный характер.

Рис.15 3. Спектр излучения Солнца. Непрерывные линии- результаты измерений, штрихованные – распределение энергии в спектре АЧТ с температурой Т = 6000 К.Шкала частот, приведенная сверху графика соответствует соотношению ν=с/λ. Точка показывает

максимум, рассчитанный по формуле Планка в шкале частот для 6000 К.

На рис.3 видно, что измеренный спектральный контур солнечного излучения неплохо соответствует в области максимума контура расчетной зависимости по формуле Планка в шкале длин волн. Если рассчитать положение максимума контура по формуле Планка в шкале частот, то он соответствует синей точке, показанной на рис. 15. 3.

Солнце – это газовый шар, причем температура его верхней атмосферы существенно отличается от температуры более глубоких слоев. Тем не менее, на основании данных рис. 15.3 удобно считать, что «поверхность Солнца» излучает как нагретое тело с температурой 6000 К.

Объемная спектральная плотность излучения F(λ) – энергия, приходящаяся на единицу объема и малый интервал длин волн. Эту величину ввели теоретически.

Спектральная плотность излучения — характеристика спектра излучения, равная отношению плотности потока (Вт/м²) излучения в узком интервале длин волн к величине этого интервала, измеренного в Герцах или метрах (нанометрах). Именно эту величину измеряют экспериментально.

Объемная спектральная плотность излучения связана со спектральной плотностью излучения соотношением: .

Единица измерения объемной плотности излучения – Дж/м³ , единица измерения спектральной плотности излучения – Дж·с/м³

λ измеряется в нм, ν – в Гц. Также применяют формулы Планка в виде Е_λ = hc/λ – энергия кванта и Е_ν = hν , где они имеют следующие единицы измерения и - эти величины откладываются по оси х, а по оси у откладывается спектральная плотность потока и измеряется в Вт/м³.

Интегрирование формулы Планка по всем длинам волн дает закон Стефана-Больцмана, а нахождение максимума спектрального распределения, путем вычисления производной и приравнивания ее нулю, дает закон смещения Вина. Формула Планка (15.4) согласуется с опытом.

При выводе формулы Планку пришлось отказаться от общепринятого в то время классического предположения о том, что энергия, приходящаяся на одну степень свободы поля, то есть на каждый возможный стационарный тип колебаний поля в полости черного тела (мода излучения) зависит от температуры стенок полости. Эта энергия – энергия светового кванта оказалась пропорциональной только частоте данного колебания.

Формула Планка заложила основы квантового описания процессов взаимодействия света с веществом. При этом в физику была введена новая фундаментальная константа – постоянная Планка, а также представление о квантовых переходах между дискретными энергетическими уровнями энергии, на которых могут находиться электроны в атомных системах. Для описания этих переходов Эйнштейн ввел в употребление коэффициенты, носящие его имя, описывающие вероятности переходов между уровнями.

Простейшая идеализированная атомная система имеет только два уровня (в реальной системе – бесконечно большое число уровней).

Рис. 15.4. Возможные излучательные переходы между энергетическими уровнями i и j.

Энергия поглощенного или испущенного светового кванта h равна разности энергий уровней. Кроме процессов испускания и поглощения излучения реальная атомная система может изменять свое состояние за счет безизлучательных переходов, возникающих при столкновении атомных частиц друг с другом.

Из формулы Планка следуют эмпирические законы теплового излучения: Стефена-Больцмана и Вина, причем, постоянные Стефана-Больцмана и Вина могут быть выражены через фундаментальные физические константы.

Квантовое соотношение Планка (1900): значение энергии осциллятора должно быть целым кратным произведения h. E = h - наименьшее возможное значение энергии осциллятора – квант или фотон.

Вывод фрмулы Планка по Эйнштейну

Законы теплового излучения абсолютно черного тела справедливы для любых веществ, в том числе для идеальных. Например, для системы частиц, которые могут находиться только в двух энергетических состояниях.

а б

Рис. 5а. Диаграмма энергетических уровней двухуровневых частиц. (б) Изменение числа частиц в возбужденном состоянии в случае, когда в начальный момент времени механизм возбуждения частиц мгновенно выключен.

В модели идеального тела, состоящего из n частиц с двумя уровнями энергии, частица из возбужденного состояния 2 может спонтанно переходить в основное состояние 1 с вероятностью А (коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода).

Возбужденная система возвращается в основное состояние по закону радиоактивного распада: , где  - постоянная распада. Коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода А = 1/.

n₂ и n₁ – число частиц, находящихся в состояниях 2 и 1 соответственно. n₂ + n₁ = n. n₂ и n₁ – называют населенностями уровней.

Р ис.6. Кроме спонтанных, в системе возможны также вынужденные переходы 2 – 1 и 1 – 2 под действием резонансного излучения с объемной плотностью U. (Вероятность безизлучательных переходов d обычно считают малой.) ВU – вероятности вынужденных переходов. В – коэффициент Эйнштейна для вынужденного перехода.

В условиях термодинамического равновесия число переходов 2 – 1 и 1 – 2 должно быть одинаковым, т.е.

A n₂ + BU n₂ = BU n₁. (1)

Равновесное распределение частиц по энергетическим уровням описывается распредеделнием Больцмана:

. (2)

Решение уравнений (1) и (2) относительно плотности излучения U, имеет вид формулы Планка:

. (3)

Сравнение (3) с формулой Планка дает:

.

Из рассмотрения Эйнштейна следует возможность усиления света квантовой системой, в случае, если световой пучок проходит через среду, число частиц в возбужденном состоянии которой больше, чем в основном. Такое состояние называют состоянием с инверсной населенностью энергетических уровней. Услиление света происходит за счет вынужденных переходов 2 - 1.

Вещество, усиливающее свет, называют активной средой. Формально, в соответствии с уравнением (2), систему с инверсно заселенными уровнями можно считать находящейся в состоянии с отрицательной температурой.