Задача 4.7
Дана выборка, отвечающая нормально
распределенной случайной величине
с параметрами
и
.
25,2 |
25,1 |
25,4 |
25,3 |
25,1 |
25 |
25,2 |
25,3 |
25,4 |
25 |
25 |
25,3 |
25,2 |
25,2 |
25,3 |
25,1 |
25,5 |
25,3 |
25,3 |
25,2 |
25,3 |
25 |
25 |
25 |
25,1 |
25,4 |
25,3 |
Требуется на уровне значимости
проверить гипотезу
при конкурирующей гипотезе
.
Математическое ожидание случайной величины неизвестно.
Решение:
Примем
,
.
Найдем
,
с помощью таблиц:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25,2 |
0 |
0 |
|
15 |
25,3 |
1 |
1 |
2 |
25,1 |
-1 |
1 |
|
16 |
25,1 |
-1 |
1 |
3 |
25,4 |
2 |
4 |
|
17 |
25,5 |
3 |
9 |
4 |
25,3 |
1 |
1 |
|
18 |
25,3 |
1 |
1 |
5 |
25,1 |
-1 |
1 |
|
19 |
25,3 |
1 |
1 |
6 |
25 |
-2 |
4 |
|
20 |
25,2 |
0 |
0 |
7 |
25,2 |
0 |
0 |
|
21 |
25,3 |
1 |
1 |
8 |
25,3 |
1 |
1 |
|
22 |
25 |
-2 |
4 |
9 |
25,4 |
2 |
4 |
|
23 |
25 |
-2 |
4 |
10 |
25 |
-2 |
4 |
|
24 |
25 |
-2 |
4 |
11 |
25 |
-2 |
4 |
|
25 |
25,1 |
-1 |
1 |
12 |
25,3 |
1 |
1 |
|
26 |
25,4 |
2 |
4 |
13 |
25,2 |
0 |
0 |
|
27 |
25,3 |
1 |
1 |
14 |
25,2 |
0 |
0 |
|
|
- |
1 |
57 |
Таким образом,
Теперь можно найти значение функции
По таблицам III и IV
приложения находим квантиль распределения
с
степенями свободы:
Так как
,
то гипотеза
принимается.
Задача 5.7
Имеется группированный статистический ряд, полученный по результатам наблюдений над случайной величиной .
Интервал |
13,9- 14,4 |
14,4- 14,9 |
14,9- 15,4 |
15,4- 15,9 |
15,9- 16,4 |
16,4- 16,9 |
16,9- 17,4 |
17,4- 17,9 |
17,9- 18,4 |
18,4- 18,9 |
Частота |
5 |
12 |
31 |
67 |
108 |
122 |
77 |
53 |
17 |
8 |
Требуется на уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины .
Решение:
В качестве параметров
и
закона распределения случайной величины
возьмем соответствующие оценки (таким
образом мы определяем два параметра,
на основании статистических данных,
поэтому
).
Формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии:
;
;
где - частота, соответствующая -му интервалу, - середина этого интервала.
При вычислении в качестве «ложного
нуля» возьмем середину интервала с
максимальным значением частоты, округлять
до ближайшего целого не будем
.
Количество интервалов
,
число наблюдений
Вычисление оформляем в виде таблицы
|
|
|
|
|
|
14,15 |
5 |
-2,5 |
-12,5 |
6,25 |
31,25 |
14,65 |
12 |
-2 |
-24 |
4 |
48 |
15,15 |
31 |
-1,5 |
-46,5 |
2,25 |
69,75 |
15,65 |
67 |
-1 |
-67 |
1 |
67 |
16,15 |
108 |
-0,5 |
-54 |
0,25 |
27 |
16,65 |
122 |
0 |
0 |
0 |
0 |
17,15 |
77 |
0,5 |
38,5 |
0,25 |
19,25 |
17,65 |
53 |
1 |
53 |
1 |
53 |
18,15 |
17 |
1,5 |
25,5 |
2,25 |
38,25 |
18,65 |
8 |
2 |
16 |
4 |
32 |
|
500 |
- |
-71 |
- |
385,5 |
Отсюда:
;
Вычислим теперь теоретические вероятности
по формуле:
где
- концы
-го
интервала, а
- нормальная функция распределения,
значения которой приведены в таблице
1 приложения.
Найдем значение величины
Вычисления оформляем в виде таблицы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- |
13,9 |
-3,01 |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
1 |
5 |
14,4 |
-2,43 |
0,0075 |
0,0075 |
3,75 |
1,25 |
1,56 |
0,42 |
2 |
12 |
14,9 |
-1,86 |
0,0314 |
0,0239 |
11,95 |
0,05 |
0 |
0 |
3 |
31 |
15,4 |
-1,28 |
0,1003 |
0,0689 |
34,45 |
-3,45 |
11,90 |
0,35 |
4 |
67 |
15,9 |
-0,7 |
0,242 |
0,1417 |
70,85 |
-3,85 |
14,82 |
0,21 |
5 |
108 |
16,4 |
-0,12 |
0,4522 |
0,2102 |
105,1 |
2,9 |
8,41 |
0,08 |
6 |
122 |
16,9 |
0,45 |
0,6736 |
0,2214 |
110,7 |
11,3 |
127,69 |
1,15 |
7 |
77 |
17,4 |
1,03 |
0,8485 |
0,1749 |
87,45 |
-10,45 |
109,2 |
1,25 |
8 |
53 |
17,9 |
1,61 |
0,9463 |
0,0978 |
48,9 |
4,1 |
16,81 |
0,34 |
9 |
17 |
18,4 |
2,18 |
0,9854 |
0,0391 |
19,55 |
-2,55 |
6,5 |
0,33 |
10 |
8 |
18,9 |
2,76 |
0,9971 |
0,0508 |
25,4 |
-17,4 |
302,76 |
11,92 |
|
500 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
16,05 |
Таким образом, в рассматриваемом случае
имеем
.
Далее,
,
.
Поэтому по таблице IV
приложения имеем
.
Так как
,
то гипотеза о нормальном распределении
случайной величины
отклоняется.