5. Алгебра логики. Определения. Основные операции. Логические формулы.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов. Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов.

Аристотель положил начало, Лейбниц сделал математическую логику, Дж. Буль – алгебра высказываний.

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Формы мышления бывают понятийные, умозаключительные и высказывания.

Алгебра высказываний: Логические переменные: А, В, С, Д и т.д.

Ложь-0, истина-1.

Базовые операции: конъюнкция (и), дизъюнкция (или) и инверсия (не). А также, импликация (если, то), эквивалентность, равносильность (тогда, и только тогда).

Т. к. любая логическая функция может быть представлена в виде трех основных элементарных логических операций, любые устройства компьютера могут быть собраны из базовых логических элементов, как из кирпичиков.

Логический элемент «И» - логическое умножение

Логический элемент «ИЛИ» - логическое сложение

Логический элемент «НЕ» - инверсия

6. Логические законы и правила преобразования логических выражений. Решение задач.

Логические законы: знание законов позволяет проверить правильность рассуждений и доказательств.

1)Закон тождества: А=А

2)Закон непротиворечия: не А и А = 0

3)Закон исключенного третьего: А или не А = 1

4)Законы двойного отрицания: не не А = А

5)Законы идемпотентности: А и А=А, А или А=А

6)Законы де Моргана: не А или Б = не А и не Б, не А и не Б = не А или не Б

7)Свойства констант: А и 1 = А, А или 1 = 1, А или 0 = А, А и 0 = 0

8)Правила коммутативности: А и Б = Б и А, А или Б = Б или А.

9)Правила ассоциативности: (А и Б) или С = А и (Б и С),

(А или Б) или С = А или (Б или С)

10) Правило дистрибутивности: (А и Б) или (А и С)=А и (Б или С)

(А или Б) и (А или С) = А или (Б и С)

11) Закон поглощения: А и (А или Б) = А

А или (А и Б)=А и Б

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.