22. Криволинейные интегралы 1 рода. Вычисление криволинейного интеграла

Пусть кривая C описывается векторной функцией  , где переменная s представляет собойдлину дуги кривой (рисунок 1).  Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл   называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл   существует, если функция F непрерывна на кривой C.

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по  :  .

23. Криволинейные интегралы 2 рода. Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейным интегралом II рода от функций   и   по плоской кривой   от точки   к точке   называют предел ,  где точки   – точки, которые разбивают участок кривой   от точки   до точки   на   частей, а   и   – приращения соответствующих координат при переходе от точки   к точке  . Криволинейный интеграл II рода обозначают:  или  .

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за   единичный вектор касательной к кривой  , то нетрудно показать, что

24. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида  .

Ряд     может сходиться лишь в том случае, когда член   (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

25. Числовые ряды. Признак Даламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами   отношение  -го члена ряда к  -му при   имеет конечный предел  , т.е.  , то: - ряд сходится в случае  , - ряд расходится в случае  . В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

26. Числовые ряды. Признак Коши

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если   ряд расходится, если   вопрос о сходимости ряда остается открытым.

27. Числовые ряды. Интегральный признак сходимости ряда

Пусть для функции f(x) выполняется:

 (функция принимает неотрицательные значения)

 (функция монотонно убывает)

 (соответствие функции ряду)

Тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.