6. Гироскоп. Угловая скорость прецессии

Гироскопом (или волчком) наз-я массивное симметричное тело, вр-ся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции. Поэтому, если она не поворачивается в пространстве, момент импульса равен , где I –момент инерции относительно оси гироскопа.При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается своеобразное явление, получившее название гироскопического эффекта:под действием сил, которые, казалось бы, должны вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой (см. рисунок), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О^''О^'' направленной вдоль направления действия сил и . Поведение гироскопа

о

казывается полностью соответствующим законам динамики вращательного движения. Действительно, момент сил и направлен вдоль прямой О^'О^'. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление, как и . Спустя время dtмомент импульса гироскопа

,Отсюда следует, что поворот оси гироскопа в новое положение произошел с угловой скоростью .Перепишем это соотношение в виде: Векторы , и взаимно перпендикулярны (вектор направлен вдоль прямой О^’’О^’’, на нас). Поэтому связь между ними можно записать в векторном виде : .Заметим, что эта формула справедлива лишь в том случае, если ^’ <<Допустим, что ось гироскопа может свободно поворачивается вокруг некоторой точки О (см. рисунок). Р

ассмотрим поведение такого гироскопа в поле сил тяжести. Момент сил, приложенных к гироскопу, равен по величине : , где m- масса гироскопа, l- расстояние от точки О до центра инерции гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью.Под действием момента сил момент импульса получит за время dt приращение , перпен-е вектору . При этом вертик-я плоскость, прох-я ч/з ось гироскопа, повернётся на угол . Угол при этом не меняется. Таким образом, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой О поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение гир-па наз-я прецессиейУгл- скорость прец^’ можно найти, . Подставляем сюда M получим , отсюда - угловая скорость прецессии.

Колебания

1.Уравнения гармонических колебаний и его основные параметры

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса, называются гармоническими колебаниями.

Таким образом, движение системы, находящейся под действием силы вида , представляет собой гармоническое колебание.

Параметры гармонического колебания:

А – амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия;

- фаза колебаний, которая измеряется в радианах;

- начальная фаза, т.е. фаза в момент времени ;

T - период колебаний, т.е. время одного полного колебания;

- частота колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени. (измеряется в герцах, ).

Поскольку косинус – функция периодическая с периодом , то

- циклическая частота.

В случае колеблющегося шарика, подвешенного на пружине:

Продифференцировав x(t) по времени, получим выражение для скорости:

,

а, продифференцировав еще раз, найдем выражение для ускорения:

Из сравнения этих выражений следует, что скорость v опережает смещение х по фазе на , а ускорение а и смещение х находятся в противофазе.

На рисунке сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.