7) Пара сил, её плечо и момент. Теорема о приведении произвольной сис-мы сил к силе и паре.
Пара сил-система 2 сил = по модулю и противоположнонаправленных. Для пары сил главный вектор=0 а гл момент не зависит от выбора полюса
Момент пары сил -свободный вектор = векторному произведению радиус-вектора точки приложения одной из сил пары проведенного из др точки приложения на эту силу.
Плечо пары сил- расстояние между линиями действия сил пары.
Следствие 1
Если момент = 0 то силы пары лежат на одной прямой и такая пара по аксиоме о 2 силах экв 0 явл элементарной нуль-системой.
Следствие 2
Если момент не = 0 то пара сил:1)не экв 0 2)не приводится к равнодействующей. Момент пары ортог пл-ти пары и направлен в ту сторону откуда поворот который стремится вызвать пара виден происходящему против хода часовой стрелки.
Теорема о приведении системы сил к силе и паре. Любую систему сил при помощи элементарных операций можно привести к силе приложенной в напередзад точке О-центре приведения и паре сил.
1)По теореме о привед к 2 силам { ,…, }эквивалентно{ , ;гл вектор и гл момент сохр при помощи злеем-ых преобразований.
2)Добавим
нуль-систему {
.O
}
,а
затем сложим
и
:
+
Получим {
,
}экв{
,
,
}
Cила
и {
,
}-искомые.
При этом
=
+
+
=
тогда
+
+
=
(
,
)
Замечание: можно показать что справедлив след-ий критерий экв-ти систем сил: любые 2 системы сил экв-ныу них = гл векторы и гл моменты. Вывод: пара сил полностью(с точн до экв-ти) харак-ся своим моментом.
8) Теорема об условиях равновесия атт. Ур-я равновесия для пространственной сис-мы сил
Теорема равновесия АТТ
Для
того чтобы произвольная система сил
была уравнов-ой необходимо и достаточно
чтобы ее главный вектор и гл момент
относ-но произв-ого полюса В=0 (*)
=0,
.
=0
1)Необходимость.
Имеем: {
,…,
}экв0
По теореме о приведении к 2 силам
{
,…,
}экв{
.
По аксиоме о 2 силах {
,
}экв0
=-
и
//
Первое рав-во означ что
+
=0
а силы
и
образуют пару поскольку она экв нулю.
M(
,
)=0
2)Достаточность.
Исходим из равенства (*).По теореме о
приведении к силе и паре: {
,…,
}экв{
.
где {
,
}
–пара сил,т.е
,но
=0,итак
{
,…,
}экв{
,
},для
этой пары сил
(
,
)=
=0,поэтому
{
,
}экв0,т.е
{
,…,
}экв0.
≤простой системы сил. Пусть xyz-произвольная декартовая система координат. Следствие:уравнения равновесия произв системы сил в скалярной форме:
X:
y:
z:
:
=0
:
=0
:
=0
Для системы из n тел получаем 6 n уравнений равновесия.
9)Ур-е равновесия для плоской и сходящейся сис-мы сил, для сис-мы параллельных сил. Статистически определяемые задачи.
Уравнения равновесия АТТ
1)Пусть
система сил-плоская и полюс В вместе с
осями x
и y
лежит в той же плоскости что и сила.
Тогда можно пользоваться ур-ми: X:
y:
:
=0
В самом деле ɏ
К
перп
и
//
,т.ч
остальные 3 ур-ия обратились в тождества.
2) Пусть система сил-параллельная, тогда ɏ К // ,тогда можно пользоваться ур-ми: z:
: =0 : =0 В самом деле ɏ К // и перп
3) ) Пусть система сил-сходящаяся и линии действия всех сил проходят через В. Тогда можно пользоваться ур-ми: X: y: z: Для ɏ К =0
Задача статистически определима если число неизвестных не превосходит числа ур-ий равновесия. Если в задаче nтел и m неизвестных то в статист опр задачах:m≤3n-плоский случай;m≤6n-простр-ый случай.