28.Знакопеременные ряды, знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
Ряд, содержащий как положит, так и отрицат члены наз знакопеременным.
Теорема(достаточный признак сходимости знакопеременного ряда):
Если
ряд
,
составленный из модуля членов
знакопеременного ряда
,
то сходится и знакопеременный ряд
.
В этом случае говорят,что знакопер ряд
сходится абсолютно.
Если знакопер ряд сходится (по признаку Лейбница), а ряд из абсолютных величин расходится, то данный знакопер ряд наз условно сходящимся.
Знакочередующийся наз ряд, в кот любые 2 соседних члена имеют разные знаки.
Знакочередующийся ряд-это ряд вида:
+…+
;
либо
+…+
(2)
Таким образом, знакочередующ ряд явл знакоперем, но не наоборот.
Теорема(признак Лейбница)Знакочер ряд (1) сходится, если выполнены 2 условия:
1.абсолютные
величины членов ряда монотонно убывают,
т.е.
Т.е.
для люб n≥1
2.предел
общего члена ряда при n→
равен 0, т.е.
=0
При этом сумма ряда удовлет неравенствам:
0
29.Функциональные ряды, область сходимости,сумма ряда.
Ряд, членами кот явл ф-ции от х наз функциональным рядом:т.е.
(1)
Придавая переменной х конкретные значения
(х= ) из (1), получим числовой ряд:
(2)
Кот может сходиться и расходиться.
Если числовой ряд (2) сходится при х= , то наз точкой сходимости ряда.
Если числовой ряд (2) расходится при х= , то наз точкой расходимости ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при кот функциональный ряд (1) сходится, наз областью сходимости функц ряда (1)
В области сходимости функц ряда (1), его сумма явл некот ф-цией от х, S=S(x) и в области сходимость опред равенством:
S(x)=
;
где
-частичная,
nая
сумма ряда
=
30.Степенные ряды. Теорема Абеля.
(4)
Часто рассматр ряды более общего вида:
(5)
Частным
случаем ряда (5)
при х=
явл ряд (4).
Ряд (4) назыв степенным рядом.
При х=0 явл сходящимся.
Теорема Абеля:
Если
степенной ряд (4)
сходится в
точке
≠0,
то он абсолютно сходится в каждой точке
х , для кот │х│
Следствие:
Если
степенной ряд (4)
расходится
при некот значении х=
,
то он расходится и при всех значениях
х, для кот │х│
→если
обозначим
,
наш ряд будет сходится для
→он
будет сходится на интервале -R
x
R.
31.Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда.
(-R,R)-интервал сходимости степенного ряда
В каждой точке интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, а вне интервала сходимости ряд расходится.
На
границах интервала сходимости, т.е. в
точках х=
,
ряд может как сходится, так и расходится.
Необходимы дополнит исследования.
Если ряд сходится только в 1ой точке х=0, то полагают, что R=0
Если
ряд
сходится при всех значениях х, т.е. х
,
то полагают,что R=
Совокупность числовых значений аргумента х, при кот степенные или функц ряды сходятся назыв его областью определения.
Интервал
сходимости ряда (-R,R)
находят с помощью признака Даламбера
и радикального признака Коши, применённого
к знакоположит ряду:
