3.Таблица неопределённых интегралов
uv-
формула
интегр-я по частям.
3 класса подынтегр ф-ций:
1.
Sin(ax) *dx
Cos(ax)
2.
lnx
Arcsin ax
Arccos ax *dx
Arctg ax
Arcctg ax
3.
sin bx
Cos bx *dx
Таблица часто примен дифферениалов:
1.dx=1/a d(ax)
2.xdx=1/2 d( )
3.sinxdx=-dcosx
4.cosxdx=dsinx
5.dx/
=d(tgx)
6.dx/
=-d(ctgx)
7.dx/1+ =d(arctgx)=-d(arcctgx)
8.dx/
=d(arcsinx)=-d(arccosx)
4.Основные свойства неопред интеграла.
1.Дифференциал
от интеграла d(
f(x)dx
2.Интеграл от дифференциала
2 слдед св-ва назыв линейными св-ми неопр инттеграла
3.
=k
4.
=
6.Примеры рац дробей(функций), правильных и неправ рац дробей.Схема интегр-я рац дробей (функций).
Дробно-рац ф-цией (рац дробью) назыв ф-ция f(x)=Pn(x)/Qm(x), т.е. ф-ция равная отношению 2х многочленов, где Pn(x)-многочлен степени n; Qm(x)- многочлен степени m.
Рац дробь наз правильной,если степень числителя меньше знаменателя, т.е. n<m; в противном случае n>m, рац дробь неправильная.
Теорема:всякую неправильную дробь P(x)/Q(x) можно путём деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной дроби R(x)/Q(x), т.е. P(x)/Q(x)=L(x)+R(x)/Q(x)
пример:
3.интегралы
вида
;
;
Приводятся к табличным интегралам с помощью формул тригонометрии:
Sinax*cosbx=
(sin(a-b)+sin(a+b))
Cosax*cosbx= (cos(a-b)+cos(a+b))
7.Методы рационализации. Интегр-е простейших иррациональных функций и тригонометрич выражений.
Рассмотрим некот типы интегралов, содерж иррациональные ф-ции:
1.
Где
подынтегральная ф-ция явл рац ф-цией
относительно перем интег-я Х, приводится
к интегралу от рац ф-ции заменой перем
,
где s
наим общее кратное(S1,S2,Sp)
2.
;a/c≠b/d,
n-натур
число, рационализируется подстановкой
=t
3.
,
где n-нат
число, рационализир подстановкой
4.
;
;
Назыв
неопред интегралами от квадратичных
иррациональностей. Они могут быть
вычислены путём выделения по радикалом
полного квадрата:a
(
x+
)=a(
)=a
=a
Подстановка:
x+
=t
приводит 2 1ых интеграла к табличным, а
3 к сумме 2х интегралов.
5.интегралы
типа:1.
2.
3.
Приводятся к интегралам от ф-ций рац зависящих от тригонометрич ф-ций с помощью тригон подстановок:
Для
1.
x=asint;для
2.
x=atgt;для
3.
x=
Интегралы от тригоном ф-ций:
1.
вычисляется с пом подстановки tg
=t,
тогда sinx=
,
cosx=
X=2arctgt;
dx=
Удобны и др подстановки:
А)ф-ция R(sinx,cosx) нечётна относительно sinx, то подстановка cosx=t
Б)ф-ция нечётна относ cosx, то sinx=t
В)ф-ция чётня относительно sinx, cosx, то tgx=t
2.
,
испол след подстановки:
А)если n целое неотрицат, нечётное число, то подстановка sinx=t
Б)если m целое положит, нечётное чилос,то подстановка cosx=t
В)если
m
и n
целые неотрицат, чётные числа, то исп
понижение степени:
;
;
sinx*cosx=
Г)если
m+n
нечётное отрицат, целое число,то
прдстановка: tgx=t;
x=arctgt;
dx=
;
sinx=
;
Cosx=