24. Понятие ряда, его общего члена и остатка. Сумма ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды.

Пусть задача бесконечно последовательных чисел(действит или комплексных): а₁,а₂,а₃,… ,а_n, … ..

Тогда числовым рядом называют выражение:

а₁+а₂+а₃+…+ а_n+ … = (2) Числа а₁,а₂,а₃,… ,а_n- члены ряда, а_n-общий член ряда. Суммы вида :S₁=a₁,S₂=a₁+a₂ , S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n+…

Называется частными суммами ряда 2,а S_n называют частной суммой ряда.Если послед. S₁ , S₂ , S₃ ,…, S_{n, …} имеет конечный предел, т.е. -S наз.суммой ряда и говорят,что ряд сходится (S .Если предел послед. частич.сумм, ряда несущ.или равен , то ряд 2- расходящийяся. Такой ряд суммы не имеет.

25.Примеры рядов: числовые ряды с действительными членами, функциональные ряды. а)2+5+3,5+100+…- нельзя считать заданным

б)2+5+8+11+…-является рядом а_n=3n-1

в)0+0+0+…+0+…-сходящийся ряд а_n=0 _n

г)1+1+1+…+1+…-расходящийся ряд, а_n=1 _n S=E _n=1 =

д)1+1+1+1+…+(-1)ⁿ⁺¹+…- a_n=(-1)ⁿ⁺¹,расход.S₁=1,S₂=0, S₃=1, S_n=0 lim≠

Ряд а_m+1+а_m+2+а_m+3+…+ а_m+n+ …= получ.ряда 2 отбрасыванием m-членов наз.n-ый остаток ряда 2 и обозначается R_m,S_m= .Если сумма ост.сход.ряда то R_m+ S_m=S.

26.Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости, достаточный признак расходимости ряда.

Признак сходимости. T1.Отбрасывание от ряда или присоединения к нему любого конечного числа членов не меняет его сходимости или расходимости.T2. Если числовой ряд а₁+а₂+а₃+…+ а_n+ … = сходится,то сходится и любой его остаток R_m причем lim_m→∞ R_m=0

T3. Если члены сходимости ряда имеющ. сумму S умножить на С, то ряд

Также сход,а его сумма будет равна с S.T4. Умножение членов расход. ряда на С≠0 не нарушая его расходимости. Точное выч. суммы сход. ряда пологя S ≈S_m , допуская при этом ошибку равную R_m= Но прежде чем браться за выч. Суммы ряда необходимо выяснить сходится или расходится.Т5.(необходимый признак сходимости)Если ряд сходится, то его общий член стремиться к 0, т.е. lim_n→∞a_n=0.T6.(достаточный признак расходимости)Если lim_n→∞a_n≠0, то ряд расходится. Если lim_n→∞a_n=0,то о сходимости ряда ещё ни чего нельзя сказать необходимы доп.иследования

27.Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (признаки сравнения рядов, признак Даламбера, радикальный признак Коши).

Необохим.признак сход.не дап. Возможности судить о сходимости(расх.)ряда.Сход. расходим. Ряда можно установить с пом. достат.признаков сходимости расходимости знакополож. Ряды т.е. ряды с неотриц. членами.Признаки сравнения сход. Или расх. знакополож. ряда часто устан. Путём сравнения данного ряда с дру(эталонным) рядом, о котором заранее известно сход. или нет. Признак сравн. Пусть и ряды с полож.членами причем а_n ≤в_n для всех номеров n. Тогда :1)если ряд сход., то сход. и ряд 2)если ряд расх. То расх. и ряд .Это признак ост. а_n ≤в_n вып. и для всех n, a нач. с N _n≥N.

Признак сравнен. Пусть и ряды с полож членами причём сущ. Конечный n≠0 lim_n→∞a_n/b_n=C, тогда оба ряда сходятся или расх.одновременно .Если lim_n→∞a_n/b_n=0, то из сходимости ряда →сход. , если lim_n→∞a_n/b_n=∞ , то из расход. →расх. .Если общие члены эквивалентны при n→∞, то оба ряда ведут себя в смысле сход.одинак. sin1/n tg1/n arcsin 1/n arctg1/n ln(+1/n) 1/n,при n→∞ .Замечание: сравн.исслед.ряда провод. Со след. Ряда:1.гармонич. ряд(расх)2.обобщенный3.в₁+в₁q+ в₁q²+…+ в₁qⁿ+… для которых известно что при │q│<1-cход. │q│>=1-расх.