9.Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница.
Ф-ция y=f(x) для кот на [a;b] сущ опред интеграл назыв интегрируемой на [a;b].
Теорема Коши:если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то опред интеграл сущ.
Св-ва опред интеграла вытекающие из его определения:
1
=
=
,
т.е. опред интеграл не зависит от
обозначенной перем-ой интегр-я.
2.
т.е.опред
интеграл с одинаковыми пределами
инегрир-я равен0.
3.Для
люб действит числа с
=c(b-a)
Правило Ньютона-Лейбница:
Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) какая-либо её первообразная на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то
формула
Ньютона-Лейбница
Если ввести обозначения ,что F(b)-F(a)=F(x)│, то равенство можно перепис:
Основные св-ва опред интеграла:
1.если
с-постоянное число,то
2.
dx=
dx+
dx
3.
=-
4.если
ф-ция f(x)
интегр-ма на [a;b]
и с
,
то
=
+
т.е.
по
всему отрезку равен сумме интегралов
по частям этого отрезка. Это св-во наз
аддитивностью
опред интеграла.
5.Теорема о средней
Если ф-ция f(x) непрерывна на ортезке [a;b], то сущ такая точка с из [a;b], что
6.если ф-ция f(x)сохраняет знак на [a;b], где a<b, то имеет тот же знак, что и ф-ция f(x). Это означает, что если f(x)≥0 и ≥0
7.неравенство между непрерывными на [a;b] ф-циями можно интегрировать,т.е.
;
x
[a;b],то
;
диффер-ть нельзя
10.Замена переменной и интегр-е по частям в опред интеграле.
Пусть
требуется сделать подстановку х=
.
Теорема:если:
1.ф-ция
х=
и её производная х’=
непрерывны при t
[α;β]
2.отрезок [a;b] явл множеством значений ф-ции х= при t [α;β]
3.
=а;
=b;то
Формула замены переменной в опред интеграле
При вычислении опред интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется.
Интегр-е по частям в опред интеграле:
Если ф-ции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [a;b], то имеет место формула:
Формула интегр-я по частям в опред интеграле
11.Несобственные интегралы: с бесконечным промежутком интегр-я, от неограниченных ф-ций. Признаки их сходимости.
Опред интеграл рассматрив при след 2х условиях:
1.промежуток [a;b] конечен
2.ф-ция f(x), x [a;b]
Если хотя бы 1 из этих условий не выполн, то определение интеграла не имеет смысла.
Интеграл с бесконечным промежутком интегр-я:
Пусть
условие 1 не выполн, т.е. ф-ция f(x)
определена на пром [a;+
).
Предположим, что f(x)
интегрируема на люб отр [a;A].
назыв несобственным интегралом 1 рода или несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования.
Если
предел справа сущ и конечен,то несобств
интеграл сходится; Если этот предел не
сущ или бесконечен, то
назыв расходящимся.
Аналогично
вводится понятие несобств интеграла
на пром (-
Пром
(-
=
+
Объёмы тел вращения
Пусть на отр [a;b] задана непрер ф-ция y=f(x)
X=a;x=b;y=0 Найдём объём тела:
X=x(y)
Площадь поверхности вращения
Площадь
поверхности образ вращением вокруг
оси
дуги кривой y=f(x),
где x
[a;b]
опред форму
Площадь
поверхности образ вращением вокруг
оси
дуги кривой заданной ур-ем x=
,
y
[c;d]
вычисл по формуле
