21.Линейные однородные ду-II c постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение , структура общего решения, решение задачи Коши.

Линейные однородные ДУ-II с постоянными коэф. вида y'+py+qy=0, p и q-посп. пренадлежит R. Общее ЛОДУ-II y'+py+qy=0 нах. С пост. характеристическ. уравнения k²+pk+q=0, которое сост. уравнению y'+py+qy=0 при замене производных второго порядка не у=1.При решении уравнения k²+pk+q=0 возможны 3 способа I)D>0→k₁≠k₂ , тогда решение ЛОДУ-II имеет вид у=С₁е^к₁^х+С₂е^к₂^х II) D=0→k₁=k₂= k, тогда общее решение имеет вид у=(С₁+С₂х)е^кх III) D<0→k₁=a+ᵝi , i= ; i^a=-1

k₂=a-ᵝi a±ᵝi - комплексные числа

1. Действительная часть , ᵝ-мнимая часть у=(С₁cosвх+ С₂sinвх)e^ax

Задача Коши для ДУ-II n-ого порядка уⁿ= f(x,y,y’,y^”, … , y^(n-1)) : найти решение ДУ уⁿ= f(x,y,y’,y^”, … , y^(n-1)) удовлетворяющее начальные условия y(x₀)^’=y₀ , y’(x₀)=y₀’, y”(x₀)=y₀”, y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

Проинтегрировать(решение)ДУ n-ого порядка общие или частные решения в зависимости от того заданны начальные условия или нет.

22.Линейные не однородные ду-II с постоянными коэффициентами: структура общего решения, специальная правая часть, метод подбора частных решений, решение задачи Коши.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка у''+py'+qy=f(x) где р и q –пост. числа;f(x)- непрерывная функция. Общее решение представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. у_он= у_оо+у_чн.В общем случае найти у_чн невозможно для спец видов ф-ции f(x) можно найти методом неопред коэф.по виду f(x) правой части: f(x)=е^ахР_n(х) у''+py'+qy= е^ахР_n(х) у_чн=х^re^axQ_n(x) где r- число корней характерестич.уравнения совпадающих с a, Q_n(x)- многочлен степени n с неопред. Коэф.которые паходятся методом неопред коэф.

23.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами .Решение задачи Коши.

Общий вид системы двух ЛДУ с постоянными коэф.имеет вид:

d x/dt=a₁₁x+a₁₂y

dx/dt=a₂₁x+a₂₂y 1

x=x(t) y=y(t)- t независимая переменная, a_ij-постоянные коффициент с сист.ЛДУ1 явл. Пара функций х(t) y(t) ,будучи в посто.в системе 1 обрат.сист..Общим решением системы является функция х(t,С₁,С₂).у(t,С₁,С₂) начальные условия х(t₁)=х₁, у(t₁)=у₁ ,где начальный момент раб.систем.Общее решение сист.удовлет. нач. усл. х(t₁)=х₁, у(t₁)=у₁ наз.реш.зад.

Пример 1:решение задачи Коши

d x/dt=x+y х(0)=1

dx/dt=-4x+y х(0)=-1

Решение

x’=x-y

y’=-4x+y

Продеф. Обе части первого уровнения системы

x''=x’-y’→x’’=x’+4x-y

Из первого уравнения систем.: у=х-х’

x''=x'+4x-x+x'

x’’-2x’-3x=0-ЛОДУII

k²-2k-3=0

k₁=3 k₂=-1

x(t)=C₁e^3t+ C₂e^-t

y(t)=x(t)-x’(t)= C₁e^3t+ C₂e^-t-3 C₁e^3t+ C₂e^-t=-2 C₁e^3t+ C₂e^-t

Общее решение

x (t)= C₁e^3t+ C₂e^-t

y(t)=-2 C₁e^3t+ C₂e^-t

1 = C₁+ C_{2 *2} 1=4C₂ C₂=1/4

-1=-2 C₁+2 C₂ + 1=C₁+C₂ C₁=3/4

Частное решение

x (t)= 3/4e^3t+ 1/4e^-t

y(t)=-3/2 C₁e^3t+ 1/2e^-t