18.Ду первого порядка , теорема существования и еденственности решения задачи Коши.

Однородные ДУ-I функция f(x,y) называется однородной ф-цией n-го порядка, если умножить каждого из аргументов этой функции на λ вся функция умноженная на λⁿ . Т.е. f(λ x, λу)= λⁿ f (x,у). Например f (x, у)=х²-2ху; f(λ x, λу)= (λ x)²-2 λ x λ у= λ ² (х²-2ху)= λ ² f (x,у)

ДУ-I у'= f (x,у) называется однородным если f (x,у) является однородной функции 0-ого порядка, т.е. ; f(λ x, λу)= f (x,у). Покажем, что однородное ДУ-I 0-ого порядка может быть записана в виде у’= φ(y/x).Если f (x,у) однородная функция 0-ого порядка, то выпол. соотнош f(λx, λу)= f (x,у) ,

положив к f(λx, λу)= f (x,у) λ=1/х получим f(1x, у/х)= f (x,у)= φ(y/х).Однородное ДУ-I у’= φ(y/x) можно преобразовать к уравнению с раздел.переменными при поле.подстановки (замены переменных) у/х=u.

Тогда из у/х=u след. у=uх » у’=ux+ux’=u’x+u » у’= φ(y/x)

u’x+u= φ(u)-ДУ-I с разделяющимися переменными

u’x+u= φ(u)-u » (du/dx )*x= φ(u)-u » du/( φ(u)-u)=dx/x » ∫du/( φ(u)-u)= ∫dx/x

19.Основные классы ду-I: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

ДУ-I называются линейными если его можно записать в виде у'+р(х)у=q(x) , где р(х) и q(х)- заданные функции, в частности пост.

Сществует 2 метода интегрирования ЛДУ- I: метод Бернулли и метод Лагранжа(метод вариаций произвол.пост.)

Метод Бернулли :реш. ЛДУ- I ищется в виде произведения двух других функций u(x),v(x), т.е.

у= u v.

y’= u’ v+uv’ » u’ v+uv’+ р(х) uv= q(х)

u’ v+u(v +р(х) v)= q(х)

v +p(x)v=0 » v=-p(x)v - ДУ-I c раз-ся

u’v=q(x)

20.Ду высших порядков. Ду-II, допускающие понижения порядка.

ДУ порядка выше I называют ДУ высших порядков. ДУ-II F(x,y,y',y”)=0 y”=f(x,y,y’).

Решением ДУ-II называется всякая функция у= φ(x), которое при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением ДУ y”=f(x,y,y’) называется функция у = φ(x,С₁,С₂), где С₁,С₂ независят от х произвол. пони. удовлетворяющая усл.:1. у(x,С₁,С₂) является решением ДУ y”=f(x,y,y’) для каждого фиксиров. значения С₁,С₂; 2.каковы бы ни были у = (х)|_x=x0=y₀, y’(x)|_x=x0=y ‘₀. Сущ.ед.значения постоянных С₁=С₁⁰, С₂=С₂⁰ такие, что для у= φ(x,С₁⁰,С₂⁰),эта фнкция является решением уравнения y”=f(x,y,y’) и удовлетворяет нач.словиям y’(x)|_x=x0=y ‘₀.Всякое решение у= φ(x,С₁⁰,С₂⁰) уравнения y”=f(x,y,y’) получается из общего решения у = φ(x,С₁,С₂) при конкретных значениях посш.наз.частным решением .Решение ДУ y”=f(x,y,y’) записывают в виде Ф(х,у, С₁,С₂)=0 называют общим решением ,а при конкретном С₁,С₂,т.е. Ф(х,у, С₁^’,С₂^’)=0 -называют частным интегралом .

График всякого решения ДУ y”=f(x,y,y’) называют интегральной кривой. Общее решение ДУ y”=f(x,y,y’)→ y=φ(x, С₁,С₂) представляет собой множество интегральных кривых.Частным решением y=φ(x, С₁⁰,С₂⁰)-одна интегральная кривая к множеству проходящих через точку (х₀,у₀) и имеет к ней касательную с угловым коэффициентом у₀^’.ДУ порядка выше второго:

F (x,y,y',y”, … ,уⁿ)=0

уⁿ= f(x,y,y’,y^”, … , y^(n-1))

y(x₀)^’=y₀ , y’(x₀)=y₀’, y”(x₀)=y₀”, y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

ДУ- II допускающее понижение порядка. Задача нахождения решения ДУ- II сложнее чем

ДУ- I.Поэтому рассмотрим лишь частные случаи ДУ- II.Одним из методов интегрировании ДУ- II является понижение порядка ДУ. Идея метода состоит в том, что с понижением замены переменной ДУ- II сводится к ДУ- I.

f(x,y,y’)- не зависит от у и у' , т.е. ˭̠ f(x) Т.к. уравнение y”=f(x,y,y’) преобразовать в уравнение у^”=f(x) → y”=(y')=dy’/dx→ dy’/dx=f(x) - ДУ- I с раздел.перемен.

dy’=f(x)dx→ ∫dy’=∫f(x)dx → y’=∫f(x)dx+C₁ → dy/dx=∫f(x)dx+C₁

dy=(∫f(x)dx+C₁)dx → ∫dy → ∫(∫f(x)dx+C₁)dx

y=∫(∫f(x)dx)dx+ C₁+C₂

f(x,y,y’) ˭̠ f(x,y’) не зависит от у; то у”= f(x,y’)

у'=z(x)- замена

y”=¹⁰z’(x)

z’(x)=f(x,z(x))

Частный случай у”=f(y) z(x)=f(z(x))