12.Приложение определенного интеграла(вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объем тел вращения, площади поверхности вращения).
1.Вычисление площадей плоских фигур
2
Y=
,y=
;x=a,x=b
S=
dx
3.
X=x(y),y=c,y=d,x=0
S=
Длина дуги кривой
Пусть дана плоская кривая АВ, ур-е кот y=f(x), x [a;b]
L=
13.Определение и геометрический смысл двойного интеграла.
Если
сущ предел интегральной суммы в формуле
*
при d→0
не зависящей ни от способа разбиения
области Д на части, ни от выбора точек
(
)
в них, то он наз двойным
интегралом от
ф-ции f(x,y)
по области Д и обознач:
или
В этом случае говорят, что ф-ция f(x,y) интегрируема в области Д;Д-область интегрирования;f(x,y) интегрируемая ф-цией x и y, а x и y перемен интегр-я;dxdy или dS-элементом площади.
Теорема(достаточное условие интегрируемости)если ф-ция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области Д, то она интегр-ма в этой области.
14.Св-ва двойного интеграла
1.
=c
,
c-const
2.
=
+
2.аддитивность:если
обл Д разбить на 2 линии
такие,что
=Д,
а пересечение
явл линии, то:
4.Монотонность:если
в области Д ф-ция f(x,y)≤g(x,y),
то
Неравенство можно почленно интегрировать.
5.Для любой ф-ции f(x,y) непрерывна в области Д имеет место неравенство:
│
│≤
15.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Покажем,что вычисление двойного интеграла по области Д сводятся к последовательному вычислению 2х опред интегралов. Предположим, что область Д можно задать в виде системы неравенств:Д:{a≤x≤b
(1)
Если область Д задана в виде:Д:{c≤y≤d
(2)
Геометрически,
заданная область Д в 1ом случае означ,
что каждая вертикальная прямая х=
,
x
(a;b)
пересекает границу области Д не более,
чем в 2х точках(точки входа и выхода),кот
назыв правильной в направлении оси
.
Интегралы стоящие справа (в формулах 1 и 2)назыв повторными или двухкратными. Они отлич друг от друга порядком интегрирования. Интегралы содержащие ф-цию f(x,y) наз внутренними интегр, а другие внешние.
Интегр-е в повторном интеграле идёт справа налево . Каждый из повторных интегралов вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница как неопред интеграл.
17.Оснавные понятия теории дифференциальных уравнений: определение ду и его решения, интегральные кривые, порядок ду, задача Коши, общее и частное решение, общий и частный интеграл.
Пусть ф-ция f(x) при х ε Х и на этом множестве имеет n-производных (f(x), f’(x), f”(x)). Определение: Пусть некоторый процесс описывается ф-ций f(x) заданной и дифференцируемой (n раз) на Х.Эта ф-ция неизвестна, но известна ф-циональная зависимость между х, f(x) и ее производной т.е. F(x, f(x), f’(x), f”(x))=0.
F(x, f(x), f’(x), f”(x))=0 называют обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ)n-го порядка, если в функцию F явно входят производ. f(n)(x) и не входят f(m)(x), m>n.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок вход.в него производной.
Т.к. F(x, f(x), f’(x), f”(x))=0 содержит f(n)(x) неявно, его можно рассмотреть как неявную ф-цию относит. f(n)(x).Если уравнение F(x , f(x), f’(x), f”(x))=0 можно разрешить отношением n-ой производ. , тогда f(n)(x)=φ(х, f(x), f’(x), … , f(n-1)(x)).
ДУ F(x, f(x), f’(x), f”(x))=0 записать в виде f(n)(x)=φ(х, f(x), f’(x), … , f(n-1)(x)) наз. дифференциал. уравнением n-го порядка разрешенным относит. старшей производной
F (x, y(x), y’(x), … , y(n)(x))=0 1*
y(n)(x))= φ(х, y(x), y’(x), … , y(n-1)(x))=0 2*
Функция y= φ(х) заданная и n-раз дифференцируемая на Х называется ДУ1*(ДУ2*), если имеет место равенство F (x, y(x), y’(x), … , дописать спросить
Процесс отыскания решения ДУ называют интегрированием а график решения – интегральной кривой.
Задача отыскать решения ДУ 1-ого порядка y= f (x,у) удовлетворяя угл. y(x0)=у0 называется задачей Коши. Геометрически это равносильно след.: требуется найти интегральную кривую y’= f (x,у) проходящую через точку М0(х0,у0).