Пример 6. Интерференция при отражении от плоскопараллельной пластины

Свет с длиной волны падает на плоскопараллельную пластину толщиной и показателем преломления . При некоторых углах падения в отраженном свете наблюдается максимумы интенсивности.

Найти связь между углами и их номерами .

Поверхность плоскопараллельной пластинки из прозрачного материала освещается монохроматическим светом (см. рис. 6,а). В произвольную точку , расположенную по ту же сторону пластинки, что и источник S, приходят две волны отражённые от верхней (схематически показана лучом 1 на рисунке 6), и от нижней (луч 2) поверхностей.

В задаче рассматривается случай, когда волны являются плоскими. Интерференционная картина в виде тёмных и светлых полос наблюдается визуально при адаптации глаза на бесконечность или на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы.

Так как интерференционная картина определяется оптической разностью хода между интерферирующими волнами, то необходимо найти эту разность. Вследствие того, что оптические пути всех волн от плоскости до экрана равны, то любая разность хода между интерферирующими волнами возникает от точки до плоскости . Разность хода волн определяется выражением:

,

где добавление величины обусловлено отражением света от границы раздела с оптически более плотной средой.

,

.

Таким образом

С учетом закона преломления , получается

Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем:

.

Для того чтобы в данной точке экрана наблюдался максимум интенсивности, необходимо выполнение условия . Тогда условием наблюдения светлой полосы является выполнение равенства

.

Пример 7. Кольца Ньютона.

В установке для наблюдения колец Ньютона на вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы с радиусом кривизны имеется сошлифованный плоский участок радиуса . Длина волны падающего света равна .

Вывести формулу для радиусов темных колец и зависимости от этого радиуса расстояния между ними в области .

Подобная ситуация возникает и в том случае, если сошлифованного участка нет (пример 8), но линза прижата к стеклянной пластине.

В отраженном свете интерференционная картина является результатом сложения когерентных волн 1 и 2, отраженных от сферической поверхности линзы и от поверхности стеклянной пластинки (рис.8,б). Интенсивности волн примерно одинаковы, поэтому наблюдается довольно четкая (контрастная) система светлых и темных колец.

. Темные кольца радиуса r_m образуются в тех местах, где оптическая разность хода l_m волн 2 и 1 (см. рис.8, а) равна нечетному числу полуволн:

. (9)

Здесь - толщина воздушной прослойки под точкой D, в которой происходит деление падающей волны на отраженную и преломленную. Толщина под кольцом радиуса остается постоянной. (В случае цилиндрической линзы интерференционные полосы будут прямолинейными.)

Выразим через радиус темного кольца rm и радиус R сферической поверхности линзы. Для этого воспользуемся рис.8, б и, применяя теорему Пифагора к треугольникам AOD и COF, приравняем квадраты гипотенуз.

На практике линза соприкасается с пластинкой не в одной точке, а по некоторой площади , где - радиус центрального темного пятна (m = 0, b = 0, l = /2, волна 2 на рис.8, а, отражаясь от стеклянной пластинки, испытывает изменение фазы на ), а - высота сегмента с радиусом основания . Раскрывая скобки и приводя подобные, получим:

Учитывая, что , пренебрежем квадратами малых величин и величиной по сравнению с . После преобразования получим:

Теперь, с учетом (9), легко получить формулу для радиуса темных колец

,

При малом радиус колец с увеличением m изменяется по закону

, (10).

при этом ширина колец r_m = r_m+1 – r_m уменьшается. Кроме того, радиусы колец зависят от , поэтому при наблюдении в белом свете интерференционная картина будет окрашенной, и фиолетовые кольца при каждом m имеют наименьший, а красные кольца - наибольший радиус. Чем больше m, тем больше различие в радиусах.

В области, где выполняется соотношение также можно пользоваться формулой (10). Для получения формулы связи расстояния между кольцами с радиусом кольца найдем разность квадратов радиусов колец:

.

Поскольку расстояние между кольцами не велико, можно записать:

Таким образом, с учётом (10), имеем:

.

После упрощения получаем:

.