Пример 4. Схема опыта Юнга.

Свет от двух когерентных источников (рис. 2), находящихся на расстоянии друг от друга, падает на экран, на котором наблюдается система интерференционных полос. Расстояние от источников до экрана равно .

Найти координаты максимумов и минимумов интенсивности на экране и расстояние между ними.

Обозначим через и расстояние от каждой из щелей до той точки экрана, в которой производим наблюдение. Интерференционная картина наблюдается на экране, который расположен на расстоянии от плоскости щелей (рис. 2.) Схему интерференции, состоящую из двух источников и экрана, параллельного плоскости, содержащей источники, можно назвать эквивалентной схемой из двух источников. Найдём разность хода волн от щелей до точки наблюдения. Для этого воспользуемся искусственным приемом, учитывая формулу

.

По теореме Пифагора найдем квадраты расстояний и :

Тогда

Разность хода составляет несколько длин волн  и всегда много меньше чем и и, кроме того, часто выполняется соотношение , поэтому , что было использовано при выводе соотношения

Разность хода соответствует разности фаз . Из условия максимума интенсивности (см. формулу 5) можно найти координаты , где будут расположены полосы наибольшей интенсивности.

или , .

Минимумы (тёмные полосы) будут располагаться там, где

при  = (2q+1), то есть

,

Расстояние между двумя светлыми или тёмными полосами составляет :

Заметим, что для тех точек, куда волны приходят в фазе, выполняется условие , то есть на длине укладывается чётное число полуволн или целое число волн. При интерференции волны усиливают друг друга. В этих точках наблюдается максимум интенсивности и при равных амплитудах волн суммарная амплитуда в 2 раза больше, а интенсивность в 4 раза больше интенсивности каждой из волн.

В тех точках, куда волны приходят в противофазе, и выполняется условие , то есть на длине укладывается нечётное число полуволн или полуцелое число волн, и волны гасят друг друга.

Из закона сохранения энергии следует, что уменьшение энергии в области тёмных полос должно компенсироваться увеличением энергии в области светлых полос.

Если , результирующая интенсивность в интерференционной картине описывается выражением:

Проведённый расчёт интерференционной картины является общим для многих интерференционных схем, которые сводятся к эквивалентной схеме из двух когерентных источников.

Пример 5. Схемы интерференции, сводимые к эквивалентной схеме из двух источников

Показать, что интерференция света от зеркал Ллойда и от бизеркала Френеля может быть сведена к эквивалентной схеме из двух источников. Провести сравнение интерференционных картин.

Рассмотрим схему интерференции, реализованную с помощью зеркала Ллойда, (рис.5.). Волна 2, идущая от источника, после отражения от зеркала полностью тождественна волне, идущей от мнимого источника, полученного в результате отражения действительного источника в зеркале, но сдвинута на за счет отражения от оптически более плотной среды. Расстояние между источниками (действительным и мнимым) равно удвоенному расстоянию от источника до зеркала . Геометрическая разность хода волн вычисляется аналогично примеру со схемой опыта Юнга, но оптическая разность хода будет отличаться на в результате отражения от зеркала. Это приведет к тому, что интерференционная картина будет смещена и в «центре» экрана – месте пересечения экрана и зеркала будет наблюдаться минимум интенсивности.

Похожая ситуация возникает при наблюдении интерференции по схеме с бизеркалами Френеля (рис. 3.). Однако в этой схеме оба источника получены в результате отражения в зеркале, сдвиг на будет наблюдаться у обеих волн и интерференционная картина будет полностью аналогична картине, наблюдаемой в схеме опыта Юнга. Из рисунка видно, что расстояние до экрана будет равно , а расстояние между источниками . Ширина интерференционной полосы будет равна .