31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
1.Ряд
Тейлора
– Если функция f(x)
имеет производные любых порядков в
окрестности точки
,
то можно записать разложений функций
f(x)
по степеням (
):
(1)
(1) – называется рядом Тейлора.
Если в формуле (1) положить , то получим разложение по степеням x, которая называется рядом Маклорена, т.е.:
(2)
Формулу
(1) можно записать в виде: 
,
где
,
-
многочлен
Тейлора,
,
,
-
остаточный член ряда Тейлора, записанный
в форме Лагранжа. (3)
Ряд Тейлора можно формально записать для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки , однако он может быть расходящимся или сходится, но не к функции f(x).
Теорема:
Для того чтобы ряд Тейлора (1) функции
f(x)
сходится к функции f(x)
в точке x
необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке остаточный член
формула (3) стремился к нулю при 
.
(4)
Задача разложения функции f(x) в степенной ряд сводится к определению значений x, при которых стремится к нулю. Если это сделать непросто, то следует использовать другой способ, например применить признак Даламбера и Коши.
2.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена – для разложение функции f(x) в ряд Маклорена (2) надо:
1.Найти
производные f
(x),
f
(x)
и т.д. fn(x);
2.Вычислить их значение в точке ;
3.Подставить в ряд (2);
4.Найти интервал сходимости ряда ли найти интервал (-R,R), в котором остаточный член ряда стремится к нулю. Эти интервалы совпадают;
Таблица основных разложений элементарных функций в ряд Маклорена:
1.
,
;
2.
,
;
3.
,
;
4.
,
;
5.
,
;
6.
,
;
7.
,
;
32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin X.
:
1.Находим
производные: 
;
;
…………….
2.Вычислим
значение функции в 0: 
;
;
;
……………
;
3.Подставляем
в ряд Маклорена: 
;
4.Находим
радиус сходимости: 
;
Интервал
сходимости 
.
:
1.
;
;
;
;
…………………………………..
;
2.
;
;
;
;
;
……………
;
3.
;
4.
;
Интервал
.
33.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление значений функций. Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3.
Приближенное
значение вычисление значений функции:
Пусть требуется вычислить значение
функции f(x),
при 
,
с заданной точностью 
.
Если
функцию f(x)
в интервале (-R,R)
можно разложить в степенной ряд: 
и 
,
т.е. 
,
то точное значение 
сумме
этого ряда, а приближенное значение
равно частичной сумме этого ряда 
.
Точность этого равенства увеличивается
с ростом n.
Абсолютная погрешность этого равенства
равна: 
,
где 
- остаток ряда.
Таким
образом, оценив остаток можно найти
ошибку. А для знакочередующего ряда:
.
Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3:
;
.
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
Сравним
каждый ряд с 
:
:
;
:
;
:
;-
этот в сумму не включается.
.
На
калькуляторе 
.
34.Приложение
степенных рядов. Приближенное вычисление
интегралов. Вычислить интеграл
с точностью δ= 10-3.
Приближенное вычисление интегралов: В теории вероятностей большое значение имеет интегральная функция Лапласса:
Для нее составлены таблицы значений.
Вычислим значение функции Лапласса с помощью разложения в ряд подинтегральной функции при x = 0,5, с точностью δ= 10-3 и сравним с табличным.
-
не берущийся. Воспользуемся разложением
функции 
:
.
Заменим
x
на (
):
:
;
:
;
:
;
- не включаем.
.
Из
таблицы 
.