21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.

Корни действительные кратные: Пусть - корень уравнения кратности R, тогда решениями Д.У. является k – линейно независимых функций: ;

;

;

……………..

;

Общее уравнение: (1)

Корни комплексные различные: среди корней есть пара комплексных сопряженных, т.е. . Этой паре соответствуют две действительные функции: ;

;

Общее решение однородного уравнения для комплексных корней:

(2)

Корни комплексные кратные: Пусть корни кратности k, тогда общее решение Д.У. имеет вид:

(3)

22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общий вид:

(1)

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.: , где – решения однородного уравнения, – частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения: .

23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.

Нахождение частного решения по специальному виду правой части уравнения функции f(x): Вид частных решений запишем в таблицу:

	Правая часть Д.У.	Корни характеристического уравнения	Виды частных решений
1	2	3	4
I		1.Число ноль не является корнем характеристического уравнения
		2.Число ноль является корнем характеристического уравнения кратности k
II		1.Число α не является корнем характеристического уравнения
		2.Число α есть корень характеристического уравнения кратности k
III		1.Число не является корнем характеристического уравнения	s=max(m, n)
		2.Число является корнем характеристического уравнения кратности k	s=max(m, n)
IV		1.Число не является корнем характеристического уравнения
		2.Число является корнем характеристического уравнения кратности k	s=max(m, n)

– многочлен степени m с неопределенными коэффициентами; ; ; ; …. A,B,C,D – неопределенные коэффициенты, которые нужно найти.

Замечание: Если функция f(x) содержит несколько слагаемых, каждая из которых приложит одному из приведенных в таблице видов, то частное решение ищется в соответствии с принципом суперпозиции, т.е.: