19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).

1.Общий вид: (1)

Порядок уравнения понижается каждый раз на единицу путем последовательного интегрирования.

…………………………………………

2.Д.У не содержащие явно искомой функции y и ее первых производных до порядка включительно, т.е. общий вид:

(2)

Производится замена: ;

;

;

………………….

Уравнение (2) сводится к: . Порядок, которого . Решив его находим функцию , т.е. уравнение (1).

3.Д.У. не содержащие явно независимой переменной x. Общий вид: (3)

Производится замена: ;

;

….;

Порядок уравнения понижается на единицу.

20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.

Линейные однородные Д.У. высших порядков с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Общий вид:

(1)

– постоянные числа или коэффициенты уравнения.

Решение уравнения (1) будем искать в виде: , (2)

где - некоторое число, предложено Эйлером.

Дифференцируем последовательно решение (2): ;

……………..

Подставим y и производные в уравнение (1):

Сократим на (3)

Функция является уравнением решения (1) тогда и только тогда когда число есть корень уравнения (3).

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) оно получается из Д.У. (1) путем замены производной на соответствующую степень числа , т.е.: ;

;

………………..

;

Таким образом, чтобы найти решении Д.У. (1)в виде (2) нужно: 1)Составить характеристическое уравнение (3); 2)Найти его корни , ,…, ; 3)Каждому корню соответствует решение: ; ;

Возможны следующие случаи корней характеристического уравнения: 1)Корни действительные и различные; 2)Корни действительные кратные; 3)Корни комплексные различные; 4)Корни комплексные кратные;

Корни действительные различные: Пусть , ,…, - действительные различные корни уравнения (3) им соответствует n-решений: ;

;

.………….

;

Эти функции линейно независимые и образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения (1): (4)