Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Электростатика.docx
Скачиваний:
10
Добавлен:
25.09.2019
Размер:
332.74 Кб
Скачать

11.Теорема гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде. Вектор электр смещения.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности. В такой форме теорема Гаусса верна для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред. Для вакуума Dn = ε0En (ε=1), и поток вектора напряженности Е сквозь произвольно выбранную замкнутую поверхность равен Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса для поля Е в самом общем виде можно записать как где ∑Qi и ∑Qsv— соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, которые охватываются замкнутой поверхностью S. Но эта формула неприменима для описания поля Е в диэлектрике, поскольку она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, определяются им же. Это еще раз показывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

Вектор электр смещения.

Если электрическое поле имеет место в диэлектрике, то наблюдается поляризация вещества и появляются связанные электрические заряды.

Учитывают поляризацию с помощью вектора поляризации , который для анизотропных и однородных сред выражается через напряженность поля следующим образом: , где c – диэлектрическая восприимчивость вещества (диэлектрика). Вектор поляризации равен также поверхностной плотности связанных зарядов, возникающих в диэлектрике под воздействием внешнего электрического поля (Р = sсвяз ).

Кроме этого, при анализе электростатических полей используют вектор электрического смещения:

Единицей электрического смещения является кулон на метр квадратный (Кл/м2).

Величина e = e0 + c является основной характеристикой диэлектрика и называется абсолютной диэлектрической проницаемостью. Отношение er = e/e0 называют относительной диэлектрической проницаемостью.

12.Условия для электростатического поля на границе разделе двух изотропных диэлектрических сред

Исследуем связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (у которых диэлектрические проницаемости равны ε1 и ε2) при отсутствии на границе свободных зарядов.

Проведем вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l, с направлением ориентации, как показано на рис. 1. По теореме о циркуляции вектора Е, применительно к данному случаю откуда (знаки интегралов по АВ и CD разные, поскольку пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA малы). Поэтому Заменив проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными на ε0ε, получим построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты на границе раздела двух диэлектриков (рис. 2); одно основание цилиндра находится в первом диэлектрике, другое — во втором. Основания ΔS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (нормали n и n' к основаниям цилиндра противоположно направлены). Поэтому Заменив проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на ε0ε, получим Значит, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Еτ) и нормальная составляющая вектора D(Dn) изменяются непрерывным образом (не испытывают скачка), а нормальная составляющая вектора Еn) и тангенциальная составляющая вектора D(Dτ) испытывают скачок. Из условий (1) — (4) для составляющих векторов Е и D мы видим, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем как связаны между углы α1 и α2 (на рис. 3 α12). Используя (1) и (4), Еτ2 = Еτ1 и ε2En2 = ε1En1. Разложим векторы E1 и E2 на тангенциальные и нормальные составляющие у границы раздела. Из рис. 3 мы видим, что Учитывая записанные выше условия, найдем закон преломления линий напряженности Е (а значит, и линий смещения D) Из этой формулы можно сделать вывод, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.

Электростатика, постоянный электрический ток

13. Распределение заряда в проводнике. Напряженность и электрическое смещение вблизи поверхности проводника

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или зарядить его, заряды проводника начнут перемещаться. Это перемещение (ток) продолжится, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором эл-стат поле внутри проводника обращается в ноль. Тогда E поля внутри проводника = 0. Потенциал во всех точках внутри проводника постоянный ( ),т.е. поверхность проводника в эл-стат поле эквипотенциальна. Значит вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если проводнику сообщить некоторый заряд , то нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника, т.к. заряд, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, равен: (по теореме Гаусса). Напряженность эл-стат поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов: , - диэлектрическая проницаемость среды ,окружающей проводник(т.к., если применить теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями , пересекающему границу проводник-диэлектрик, ось его ориентирована вдоль вектора напряженности, поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть цилиндрической поверхности = 0, т.к. внутри проводника и = 0, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание, этот поток ( ) равен сумме зарядов ( ), охватываемых поверхностью: , т.е. ) Если во внешнее эл-стат поле внести нейтральный проводник, свободные заряды будут перемещаться: положительные – по полю, отрицательные – против, на одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом – избыток отрицательного, эти заряды – индуцированные (располагаются на внешней поверхности проводника), процесс будет происходить, пока E внутри поля проводника не станет равной 0 , а линии напряженности вне проводника- перпендикулярными его поверхности. Так, нейтральный проводник, внесенный в эл-стат поле, разрывает часть линий напряженности: они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах, начинаются вновь – на положительных. Перераспределение поверхностных зарядов на проводнике во внешнем эл-стат поле – электростатическая индукция. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием поля, т.е. является поверхностной плотностью смещенных зарядов. Электрическое смещение D вблизи проводника численно равно поверхностной плотности смещенных зарядов. Поэтому D – вектор электрического смещения.

14. Электрическая емкость уединенного проводника

Это проводник, который удален от других проводников, тел, зарядов. Его потенциал прямо пропорционален заряду проводника. Т.к. некоторые одинаково заряженные проводники имеют различные потенциалы, для уединенного проводника: , величина С – электроемкость (емкость) уединенного проводника: определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Зависит от его формы, размеров. Не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника, заряда и потенциала проводника, т.к. избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Единица электроемкости – фарад (Ф) – емкость такого уедин. проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Т.к. потенциал уединенного нара радиуса R , находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен Емкость шара: . Значит емкостью 1 Ф обладал бы уедин шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус , что примерно в 1400 больше радиуса Земли ( ): фарад – очень большая величина. Из формулы также следует, что единица электрической постоянной - .

15. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Конденсаторы – устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды – обладать большой емкостью. Если к заряженному проводнику приближать другие тела, на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду q будут заряды противоположного знака, эти заряды ослабляют поле, созданное зарядом q, понижают потенциал проводника, что приводит к повышению его электроемкости. Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. Проводники имеют такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками: две плоские пластины, два коаксиальных цилиндра или две концентрические сферы. Конденсаторы бывают: плоские, цилиндрические, сферические. Линии напряженности начинаются на одной обкладке, заканчиваются на другой, свободные заряды, возникающие на разных обкладках – равные по модулю разноименные заряды. Емкость конденсатора – физ величина, равная отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками: Емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +q и –q, с разностью потенциалов между обкладками (при наличии диэлектрика) : . Емкость цилиндрического конденсатора: линейная плотность: (l - длина обкладок ), разность потенциалов: = , емкость: Емкость сферического конденсатора: разность потенциалов: , емкость: Емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками. Сегнетоэлектрики как прослойка увеличивают емкость конденсаторов. Пробивное напряжение (зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика в конденсаторе)– разность потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой – эл заряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Для увеличения емкости конденсаторы соединяют в батареи: 1) параллельно: разность потенциалов между обкладками одинакова и равна . Если емкости отдельных конденсаторов , ,…, , их заряды равны: , а заряд батареи конденсаторов: ( ) Полная емкость батареи: 2) последовательно: заряды всех обкладок равны по модулю, разность потенциалов на зажимах батареи где для любого из рассматриваемых конденсаторов , т.е. = При послед соединении результирующая емкость всегда меньше, емкости, используемой в батарее. 16. Энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного уединенного проводника

Электростатические силы взаимодействия консервативны, значит, система зарядов обладает потенциальной энергией. Каждый из двух неподвижных точечных зарядов, находящихся на расстоянии r друг от друга, обладает потенциальной энергией: , , где – потенциалы, создаваемые зарядом в точке нахождения заряда и зарядом в точке нахождения соответственно. Значит, , , значит , , добавляя к системе из двух заоядов последовательно заряды , , можно убедиться, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна: , где – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i-ого.

Пусть имеется уединенный проводник, заряд ,емкость и потенциал которого равны q, C, . Увеличим заряд этого проводника на dq (для этого перенесем заряд dq из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу ) . Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до , нужно совершить работу . Энергия заряженного проводника равна той работе ,которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник (потенциал проводника во всех его точках одинаков, т.к. поверхность его эквипотенциальна): , из найдем , где – заряд проводника.

17. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля. Объемная плотность энергии

Как любой заряженный проводник, конденсатор обладает энергией , где - разность потенциалов между обкладками конденсатора, q – его заряд, C – емкость. Чтобы найти механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг друга , предположим, что расстояние x между пластинами меняется на dx, тогда сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx=-dW, откуда: , подставляем, получаем: . Продифференцировав при конкретном значении энергии, найдем искомую силу: , где минус указывает, что сила F является силой притяжения. Преобразуем , с помощью (емкость конденсатора) b (разность потенциалов между его обкладками) , тогда (энергия конденсатора выражается через напряженность – характеристику эл-стат поле ), где V=Sd- объем конденсатора. Объемная плотность энергии эл-стат (энергия единицы объема) – только для изотропного диэлектрика, для которого . Энергия конденсатора связана с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию – подтверждение основное положение близкодействия: энергия локализована в поле, носитель энергии – поле.

18. Электрический ток. Сила и плотность тока

Электрический ток – любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля E свободные эл. Заряды перемещаются: положительные – по полю, отрицательные – против него, т.е. в проводнике возникает эл ток – ток проводимости. Если упорядоч движ эл зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела, возникает конвекционный ток. Для возникновения и существования эл тока необходимо наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно, наличие электрического поля, энергия которого, восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Сила тока (количественная мера эл тока)– скалярная физ величина, определяемая эл зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени: . Если сила тока и его направление не изменяются со временем, такой ток постоянный. Для него: Единица силы тока – ампер (А). Плотность тока – физ величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока: . Если концентрация носителей тока равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд e, то за время dt через поперечное сечение проводника переносится заряд - скорость зарядов в проводнике Сила тока: Плотность тока Плотность тока –вектор, ориентированный по направлению тока, т.е. его направление совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Единица плотности тока - Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j: , где (n – единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с вектором j угол )

19. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними. Под действием создаваемого поля сторонних сил эл заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный эл ток (при его отсутствии происходило бы перемещение носителей от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим, это привело бы к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и исчезновению эл поля). Электродвижущая сила (э.д.с.) – физ величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда : . Она производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому э.д.с. – сила источника тока, включенного в цепь. Э.д.с. – характеристика сторонних сил, измеряется в вольтах (В) Работа сторонних сил по перемещению заряда на замкнутом участке цепи равна: Выражение для э.д.с., действующей в цепи (циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил): . На заряд также действуют силы электростатического поля . Результирующая сила, действующая в цепи на заряд: Работа результирующей силв над зарядом на участке цепи: Можно записать: Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому Напряжением U на участке 1-2 назывеается физ величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи: Понятие напряженности является обощением понятия разности потенциалов: напряжения на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует э.д.с., т.е. сторонние силы отсутствуют.

20. Закон Ома. Сопротивление проводников

Закон Ома для участка цепи: сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику (в котором не действуют сторонние силы) прямо пропорциональна приложенному напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна сопротивлению проводника: . - электрическая проводимость проводника, ед измерения - См (сименс – проводимость участка эл цепи сопротивлением 1 Ом). Ед изменения сопротивления – Ом (сопротивление проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А). сопротивление не зависит от размеров, формы, материала проводника. Для однородного проводника: (S - площадь поперечного сечения, l – длина, - коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника, удельное электрическое сопротивление), ед измерения – Ом*м. Наименьшее уд сопротивление у меди, серебра, алюминия. , где - удельная электрическая проводимость вещества проводника, ед измер См/м. Так как - напряженность эл поля в проводнике, - плотность тока, закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью эл поля в этой же точке, справедливо и для переменных полей: (так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора E, то направления j и E совпадают). Изменение уд сопротивления и сопротивления с температурой: , , где , - соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при t и 0 , близкий к . Температурная зависимость сопротивления: . Сверхпроводимость: сопротивление многих металлов при очень низких температурах (T = 0,14-20 К - критических) скачкообразно уменьшается до нуля, металл становится абсолютным проводником.

21. Работа и мощность ток. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной и интегральной формах

Рассмотрим однородный неподвижный проводник с постоянным током, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд . Работа тока по переносу заряда вдоль проводника: (так как ток – перемещение заряда dq под действием эл поля). Используя закон Ома: . Мощность тока: . Ед измерения работы тока – Дж, мощности – в ваттах. Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, вся работа тока идет на его нагревание, по закону сохранения энергии: dQ=dA. Получаем закон Джоуля-Ленца (в интегральной форме): . Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого . По закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, - удельная тепловая мощность тока (равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника) : т.к.( ). Используя дифференциальную форму закона Ома и соотношение , получим закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: : объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

22. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1-2, где действует э.д.с. , приложенная на концах участка разность потенциалов: . Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1-2, работа всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил по перемещению заряда на участке 1-2: . - скалярная величина, она берется со знаком в зависимости от знака работы сторонних сил: если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в данном направлении (1-2), то , если препятствует, то <0.За время t в проводнике выделяется теплота: . Подставляем в предыдущие формулы, получаем: , откуда: - закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме – обобщенный закон Ома. Т.к. на данном участке цепи источник тока отсутствует ( ), при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, то закон Ома для однородного участка цепи: . Если эл цепь замкнута, выбранные точки 1 и 2 совпадают: , получаем закон Ома для замкнутой цепи: , где - э.д.с, действующая в цепи, R + r – суммарное сопротивление всей цепи: R – сопрвнешней цепи, r – внутренне сопр источника тока. Если цепь разомкнута, ток отсутствует (I=0), из закона Ома: , т.е. э.д.с. в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

23. Правила Кирхгофа

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с токов – узел. Ток, входящий в узел – положительный, исходящий – отрицательный. Первое правило Кирхгофа (вытекает из закона сохранения заряда: в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника, ни на одном его участке не должны накапливаться эл заряды): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: . Рассмотрим контур, состоящий из трех участков: направление обхода по часовой стрелке возьмем за положительное, токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура – положительные, не совпадающие – отрицательные, источники тока положительные, если создают ток, направленный в сторону обхода контура, применяя закон Ома, запишем: , , Складывая почленно, получим: - второе правило Киргофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной эл цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре: . При расчете сложных цепей с применением правил Киргофа необходимо: выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи: если искомый ток получится положительным, направление было выбрано правильно; выбрать направление обхода контура, произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода и наоборот, э.д.с. по выбранному направлению обхода положительна; составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в системе уравнений должны быть все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи), каждый рассмотриваемый контур должен содержать элемент, не содержащийся в пердыдущих.

24. Классическая теория электропроводности металлов

Создана немецким физиком Друде. Проведя опыт, Рикке доказал, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда осуществляется частицами, общими для всех металлов . Опыты Мандельштама и Паралекси доказали, что носители тока в металлах имеют отрицательный заряд, а их удельный заряд примерно одинаков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей и определенному ранее элементарному электрическому заряду была определена масса. Значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, открытых Томсоном 1897 г , совпадали. Было доказано, что носителями эл тока в металлах являются свободные электроны. При образовании кристаллической решетки металла валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему, в узлах кристалл решетки располагаются ионы металла, между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий свойствами идеального газа. Электроны при своем движении сталкиваются с ионами решетками, устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. Электроны обладают такой же энергией теплового движения, как одноатомные молекулы, поэтому, согласно МКТ, средняя скорость теплового движения электронов: . При наложении внешнего эл поля на проводник, кроме теплового хаотического движения электронов возникает их упорядоченное движение (эл ток). Средняя скорость такого движения: , , даже при очень больших плотностях тока. Замыкание электрической цепи влечет за собой распространение эл поля со скоростью ( ) . Через время - длины цепи, вдоль цепи установится стационарное эл поле, и в ней начнется упорядоченное движение электронов, поэтому эл ток возникает почти одновременно с ее замыканием. Основные законы эл тока в классической теории электропроводности металлов: 1. закон Ома: : плотность тока пропорциональна напряженности поля, удельная проводимость металла: ; 2. Закон Джоуля-Ленца: энергия, передаваемая решетке в единице объема проводника за единицу времени (удельная тепловая мощность тока): ; 3. Закон Видемана-Франца: отношение теплопроводности к удельной теплопроводимости для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре: .