3.Работа электр сил. Теорема о циркуляции вектора напряж.

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении равна

 

Электростатическое поле обладает важным свойством: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными. На рис. изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна

Работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r1 до r = r2, то можно получить

Теорема о циркуляции вектора напряж.

Если в электростат поле точечного заряда Q из точки 1 в точку2 вдоль произв траектории перемещ другой точ заряд Qо,то сила,прил к заряду,сов А. работа силы F га элемент перемещ dl равна: . Тк ,то

А при перем заряда из 1→2:

Не зав от траект перемещ,а опр только пол начальной 1 и конечной 2. След электост поле точечного заряда-потенциальным,а силы-консерв.

А=0,сов при перемещ электр заряда во внешнем электр поле по любому замкнутому пути L:

Если взять единичный точечный пол заряд,то лемент А сил поля на пути dl равна:

Проекция вектора Е на напр элемент перемещ. Тогда:

Интеграл наз циркуляцией вектора напряж.

4.Потенциальная энергия. Потенциал электрического поля. Связь между напряженностью и потенциалом поля.

Потенциальная энергия  — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы.

Электростатический потенциал — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики. Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением или обратно:

Здесь  — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. В единицах системы СИ:

где  — электростатический потенциал (в вольтах),  — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а  — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

Связь между напряженностью и потенциалом поля.

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля  напряжённостью и его энергетической характеристикой  потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA =  dW_п =  q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl  d или в декартовой системе координат E_x dx + E_y dy + E_z dz = d   

где E_x, E_y, E_z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

откуда .Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала , т. е.E =  grad =  .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q. Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4₀r. Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора .

Проекция же градиента потенциала на направление вектора , перпендикулярного вектору r, равна , т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной (  const).В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали  штриховыми.