Частица в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками

В уравнение Шредингера полная энергия Е частицы входит в качестве параметра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения Шредингера удовлетворят стандартным условиям не при любых значениях Е, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями энергии (или др. вел.). Решения соот-е собств. зн Е называются собственными функциями. Совокупность собственных значений называется спектром. Спектр бывает дискретным и непрерывным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать

Пусть частица находится между двумя бесконечными стенками, удовлетворяющими условиям

Для одномерного случая уравнение Шредингера

За пределами ямы вероятность обнаружения частицы равна нулю. Следовательно, и . Из условий непрерывности на границах

Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид

Обозначим . Для уравнения общим решением является

Из условия

Из условия

При то есть частица отсутствует.

Откуда

Выразив из энергию, получим:

С пектр энергии дискретный. Если посчитать разницу между соседними уровнями энергии и в качестве частицы взять молекулу кг, то для ширины ямы ~ 10 см получим эВ. То есть, чем больше m и больше l, тем гуще уровни энергии. Для электрона и l ~ 10^-10 м (атомн. размеры) эВ.

Найдем собственные функции

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки

Функция на концах промежутка х = 0 и x = l обращается в ноль, поэтому интеграл можно получить, умножив среднее значение на l.

Откуда

В состоянии n = z вероятность частицы нахождения посередине ямы рана 0. Классическая физика – все положения равновероятны.

ЛЕКЦИЯ № 10

Элементы атомной физики

Ядерная модель атома. Опыты Резерфорда. Теория Бора.

В 1905 году Дж. Томсоном была предложена модель атома, который представлял собой шар с равномерно распределенным положительным зарядом, внутри которого находятся электроны.

В 1911 году Резерфорд, бомбардируя -частицами ( м/с) металлическую фольгу, определял углы их рассеяния на атомах мишени, регистрируя сцинтилляциями на экране, покрытом сернистым цинком.

Так как -частицы отклонялись на большой угол, Резерфорд пришел к выводу о существовании ядра атома, в котором сосредоточен весь положительный заряд и почти вся масса атома.

Ядро создает сильное электрическое поле, так как имеет малый объем. Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния -частиц по углам которая предполагала взаимодействие -частицы и ядра атома по закону Кулона как для точечных зарядов

-частица при центральном попадании в ядро сближается на расстояние которое можно найти. Посчитав. Что вся кинетическая энергия -частицы расходуется на потенциальную энергию взаимного отталкивания

=

При подстановке значений получаем, что размер ядра мал

м.

Возникшее противоречие ядерной модели атома с классической электродинамикой (которое заключалось в том, что электрон, двигаясь ускоренно, должен терять энергию на излучение электромагнитных волн и за короткое время ~10^-13с упасть на ядро), было разрешено Нильсом Бором в 1913 году. Бор ввел предположения, противоречащие классическим представлениям.

1. Атом может находиться в определенных энергетических состояниях, при которых он не излучает. Из бесконечного множества эл. орбит в действительности реализуются только дискретные орбиты, удовлетворяющие квантовым условиям.

2. При переходе атома с одного энергетического состояния с энергий в другое с излучается или поглощается квантовая энергия .

.

Стационарные орбиты электрона определяются главным квантовым числом, которое разрешает только определенные значения момента импульса электрона.

С уществование дискретных уровней энергии атома было доказано немецкими физиками Франком и Герцем (1914 г.). В этих опытах использовался триод, заполненный парами ртути. Между К и С создавалось ускоряющее напряжение, которое плавно менялось, а между С и А - постоянное задерживающее напряжение. Зависимость анодного тока I от ускор. напряжения U, полученная в опыте, оказалось, имела максимумы. Это свидетельствовало о том, что при соударениях электронов с атомами электроны могут испытывать неупругие столкновения, когда его энергия равна энергии возбуждения атома.