Закон распределения случайной функции. Математическое ожидание и дисперсия случайной функции.

1). Закон распределения.

Универсальной исчерпывающей характеристикой случайной величины X является ее функция распределения F(x)=P(X<x), т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного x. В отношении случайного процесса X(t) для любого сечения при фиксированном значении аргумента t закон распределения примет вид: F(t,x)=P(X(t)<x). (1)

Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых, от значения t, для которого берется сечение; во-вторых, от значения x, меньше которого должна быть случайная величина X(t). Функция (1) называется одномерным законом распределения случайного процесса X(t). Очевидно, функция F(t,x) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t). Действительно, эта функция характеризует только распределение X(t) для данного, хотя и произвольного t; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X(t) при различных t.

Более полной характеристикой случайного процесса будет двумерный закон распределения, представленный соместной функцией распределения двух сечений случайной функции, взятых для двух произвольных сечений t₁ и t₂: F(t₁,t₂,x₁,x₂)=P(X(t₁)<x₁;X(t₂)<x₂). Аналогично может быть рассмотрен трехмерный закон распределения и т. д., но оперировать со столь громоздкими характеристиками крайне неудобно. Поэтому на практике обычно ограничиваются одномерным, иногда – двумерным законом распределения случайного процесса, но чаще всего вообще отказываются от них, а пользуются основными характеристиками случайного процесса.

2 ). Математическое ожидание.

Первой и важнейшей характеристикой случайного процесса X(t) является его математическое ожидание m_x(t), т. е. «средняя» функция, вокруг которой происходит разброс реализаций случайного процесса. Сама эта функция уже является неслучайной. Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса: m_x(t) = M(X(t)).

В каждом сечении t₀ математическое ожидание случайной величины x(t₀) находится по известным формулам. Для дискретного случая . Если случайная величина непрерывна с плотностью распределения f(x), то . Если сечение случайного процесса X(t) при данном t представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью f(t,x), его математическое ожидание может быть вычислено по формуле: .

3). Дисперсия.

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция D_x(t), которая при любом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t): . В случае дискретной величины в сечении случайного процесса дисперсия может быть найдена по формуле: . Если сечение X(t) представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью f(t,x), то дисперсия случайного процесса может быть вычислена по формуле: .