Глава II

Случайные функции (случайные процессы)

1. Определение случайного процесса. Классификации случайных процессов.

Определение. Случайная функция – это функция, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестно заранее какой именно.

В большинстве практических задач аргументом фигурирующих в них случайных функций является время, чем объясняется частое использование вместо понятия «случайной функции», понятия «случайного процесса», которое, строго говоря, является более узким. В современных разработках разделения указанных понятий не проводится, и они используются как эквивалентные безотносительно к физической природе аргумента.

Примерами случайных процессов могут служит все без исключения метеорологические характеристики (температура; давление; влажность; скорость и направление ветра и так далее); все виды хозяйственной деятельности человека связаны со случайными факторами (погода; колебание спроса и предложения; количество людей, вовлекаемых в производство и так далее); Более конкретный пример – напряжение в электросети, номинально постоянное и равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включённых в сеть приборов, моменты их включений и выключений и так далее.

Определение. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией X(t) в результате опыта, называется реализацией функции.

Это означает, что случайный процесс уже не случаен, и зависимость его от t приняла вполне определённый вид x(t): это уже обычная неслучайная функция аргумента t (рисунок 1), где t изменяется в определённых пределах, например, от 0 до π.

Любая реализация случайного процесса x(t) принадлежит множеству возможных значений случайного процесса X(t).

Определение. Если над случайным процессом произведена серия опытов, то получаем группу или «семейство», реализаций x₁(t), x₁(t), .., x_n(t) этой случайной функции (рисунок 2).

Случайные функции, как правило, обозначаются большими буквами (X(t), Y(t),…) в отличие от неслучайной функции их реализаций, обозначаемых соответствующими маленькими буквами (x(t), y(t), …).

Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины. В связи с этим случайная функция X(t) может быть определена, как процесс, значение которого при любом фиксированном t=t₀, является случайной величиной X(t₀) (рисунок 2). Случайная величина X(t₀), в которую обращается случайный процесс при t=t₀, называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргумента t. Таким образом случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

Познакомимся с самой элементарной классификацией случайных процессов – «по времени» и «по состояниям».

Определение. Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты t₁, t₂, .., t_i,… число которых конечно или счётно.

Множество T является дискретным.

Примеры процессов с дискретным временем:

1. процесс работы ЭВМ, которая может менять свои состояния в моменты t₁, t₂, .., t_i,… определяемые тактом работы машины.

2. процесс работы технического устройства, которое осматривается в моменты t₁, t₂, … переводится в результате осмотра из одной категории в другую.

3. процесс обстрела мишени в моменты t₁, t₂, … в ходе которого цель может менять свои состояния (не повреждена, частично выведена из строя, перестала функционировать, полностью разрушена и так далее).

Если рассматривается одномерный случайный процесс X(t) с дискретным временем (моменты t₁, t₂, …), то его сечения в эти моменты образуют последовательность случайных величин: X(t₁), X(t₂), … В качестве аргумента последовательности может быть выбран номер значения момента перехода: X(1), X(2),…

Определение. Одномерный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент времени t представляет собой не дискретную, а непрерывную (или смешанную) случайную величину и, значит, множество её значений E несчётно.

Аналогично, многомерный (векторный) случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом t множество возможных значений случайного вектора, определяющего состояние системы S, в которой протекает процесс, несчётно.

Примеры случайных процессов с непрерывными состояниями:

1. напряжение U(t) питания ЭВМ в момент t.

2. давление газа P(t) в заданном резервуаре в момент t.

3. координаты частицы, совершающей броуновское движение X(t), Y(t), в момент t (двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями).

4. параметры, характеризующие в момент t: состояние космической ракеты, выводимой на орбиту (многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями).

Определение. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент t множество его состояний S конечно или счётно; другими словами, если его сечение в любой момент t характеризуется дискретной случайной величиной X(t) (в многомерном случае – несколькими дискретными случайными величинами).

Разумеется, все случайные процессы с «качественными» состояниями относятся к категории процессов с дискретными состояниями. Сечение такого процесса представляет собой случайное событие – аналог дискретной случайной величины.

Таким образом, в зависимости от характера множества T значений аргумента 1, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества E самих состояний все случайные состояния можно разделить на 4 класса:

1. процессы с дискретными состояниями и дискретным временем.

2. процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

3. процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем.

4. процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Примеры процессов разных типов:

1. некто купил m билетов выигрышного займа, которые могут выигрывать и погашаться в заранее известные моменты t₁, t₂, … Случайный процесс X(t) – число билетов, выигравших до момента t.

2. техническое устройство состоит из n узлов, которые могут в ходе работы устройства X отказывать (выходить из строя). Случайный процесс X(t) – число узлов, отказавших до момента t.

3. в определённые моменты времени t₁, t₂, … регистрируется температура воздуха ς(t) в заданной точке пространства. Последовательность значений этой величины – случайный процесс ς(t) с непрерывными состояниями и дискретным временем.

4. процесс изменения напряжения U(t) в электросети питания ЭВМ представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Для различных типов случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания, с которыми мы познакомимся в дальнейшем.

В ряде задач случайные процессы бывает удобно выражать через простейшие (или «элементарные») случайные функции. Элементарной случайной функцией будем называть такую функцию аргумента t, где зависимость от t представлена обычной, неслучайной функцией, в которую в качестве параметров входят одна или несколько обычных, не зависящих от 1 случайных величин.

Рассмотрим ряд примеров элементарных случайных функций.

1. Элементарная случайная функция имеет вид Y(t)=Xe^-t (t>0), где X – непрерывная случайная величина, распределённая равномерно в интервале (-1, 1). Семейство реализаций элементарной случайной функции Y(t) показано на рисунке 3. Каждая их них представляет собой показательную кривую с ординатами, пропорциональными ординатам кривой e^-t (жирная линия). Отдельные реализации (тонкие линии) различаются между собой масштабом по оси ординат. Когда случайная величина X принимает отрицательное значение, соответствующая реализация лежит ниже оси абсцисс.