18. Определение цилиндрической поверхности. Уравнения цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси

Пусть в пространстве дана некоторая кривая L и некоторая прямая P. Проведем через каждую точку прямой L прямую, параллельную P. Поверхность, образованная таким процессом называется цилиндрической, линия L – направляющей, а линия P – образующей.

Пусть, например, L: F (x, y) =0 – уравнение образующей.

Возьмем точку М( х, у, z), принадлежащую цилиндрической поверхности. Точка лежит на некоторой образующей и проецируется на направляющую в M~(x, y, 0).

Если в уравнение F (x, y) подставить координаты точки М~, то оно окажется верным и для М. Т.е. F (x, y) = 0 – уравнение цилиндрической поверхности S, если рассматривать его в пространстве. Аналогично, уравнение F (x, z) = 0 в плоскости – уравнение линии, а в трехмерном пространстве его геометрический образ – цилиндрическая поверхность с направляющей L и образующей, параллельной Oy.

Если в уравнении поверхности отсутствует какая-либо координата, то это уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой принадлежит плоскости участвующих координат, а образующая перпендикулярна отсутствующей оси.

19. Цилиндры второго порядка

Если направляющая расположена в координатной плоскости и является кривой второго порядка, то цилиндр называется цилиндром второго порядка.

Таким образом цилиндры второго порядка бывают:

• Круговые

• Эллиптические

• Гиперболические

• Параболические

Или какой-нибудь вырожденный случай.

Цилиндры второго порядка относятся к поверхностям второго порядка.

20. Поверхности вращения; уравнение поверхности полученной вращением кривой вокруг координатной оси

Пусть в XY дана L: F (x, y).

Пусть ось вращения – Oz.

M(0, y, z)

M~(0, y, 0)

R=|y|

Точка М1 принадлежит поверхности и имеет координаты (х1, у1, z). ~M1(x1, y1, 0).

О~М1=R

О~М1=√(x1²+y1²)=|y|

y=±√(x1²+y1²)

Уравнение поверхности вращения относительно оси Oz – F(±√(x1²+y1²), z)=0.

Очевидно, что уравнение вращения относительно оси Oy имеет вид

S: F(±√(x1²+ z1²), y)=0.

21. Эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды; конус. Конические сечения

Эллипсоиды.

Каноническое уравнение эллипса:

y²/b²+z²/c²=1

Ось вращения Оу.

Y=>y, z=>±√(x²+ z²),

Получаем: y²/b²+(z²+x²)/c²=1

Осуществляем сжатие или растяжение вдоль оси Оx: x=>c/a*x

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, каноническое уравнение трехосного эллипсоида.

Гиперболоиды

Однополостный

y²/b²-z²/c²=1

x²/b²+y²/b²-z²/c²=1

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

Однополосный гиперболоид является линейчатой поверхностью – через любую его точку могут проходить две прямые, целиком принадлежащие поверхности.

Этот факт впервые применил в строительстве великий русский инженер В. Г. Шухов.

Двуполостный гиперболоид

-x²/c²+y²/b²-z²/c²=1

-x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

Двуполостный гиперболоид линейчатой поверхностью не является.

Параболоиды

y²=2pz

x²+y²=2pz

z=x²/2p+y²/2p

y=>√(2p/2q)y

z=x²/2p+y²/2q

эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид

Эту поверхность нельзя получить вращением одной кривой второго порядка –

z =x²/2p-y²/2q

z=-y²/2q

z=z0, z0>0;

z0=x²/2p-y²/2q

x²/2pZ0-y²/2qZ0=1

z=x²/2p-y²/2q

(рисунок)

Для данного рисунка О – седловая точка. С точки зрения мат. анализа – О это точка минимакса.

Для одной параболы – это точка минимума, для другой – точка максимума.

Гиперболический параболоид – линейчатая поверхность.

Конус

Пусть в плоскости zOy дана прямая z/c=y/b

Выберем в качестве оси вращения Oz.

z/c=±√(x²+c²)/b

z²/c²=x²/b²+y²/b²

x²/b²+y²/b²-z²/c²=0

x=>b/a*x

x²/a²+y²/b²-z²/c²=0 – уравнение конической поверхности.

Сечение, перпендикулярное оси вращения – окружность.

Сечение плоскость, направленной под углом к оси вращения, но не параллельно образующей и не перпендикулярно оси – эллипс.

Проведем плоскость, параллельно оси вращения – получится гипербола.

А если пересечь параллельно какой-нибудь образующей, то получиться парабола.

Пересекая конус различными плоскостями, получаем различные кривые второго порядка, поэтому они называются конические сечения.