1. Общее уравнение кривых второго порядка

Кривыми второго порядка называются фигуры, множество точек которых расположено в плоскости двумерной системы координат.

Общее уравнение кривой второго порядка:

Ax²+By²+2Cxy+Dx+Ey+F=0

Где A²+B²+C²≠0

К кривым второго порядка относятся:

1. Окружность

2. Эллипс

3. Гипербола

4. Парабола

2. Определение и вывод канонического уравнения окружности.

Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние, называемое радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Вывод канонического уравнения:

Пусть введена система координат и центр с координатами C (a, b). Тогда точка M (x, y) принадлежит окружности, если расстояние от центра до M будет равно радиусу: CM=R

(x-a) ² +(y-b) ² = R²

Это уравнение и называют каноническим уравнением окружности.

3. Определение и вывод канонического уравнения эллипса.

Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Выведем каноническое уравнение эллипса.

Таким оно будет в специально выбранной системе координат на плоскости: проведем прямую через фокусы F1 и F2 и направим её оси от первого ко второму, возьмем середину F1F2, обозначим её за О и поместим в О начало системы координат. Так определяется ось Ох. Повернем ось Ох относительно О на 90˚ против часовой стрелки и тем самым образуем ось Оy. Фокусы имеют координаты: F1 (-c, 0), F2 (c, 0).

√((x+c) ² +y² ) + √ ((x-c) ² +y² ) = 2a

√((x+c) ² +y² )= 2a-√ ((x-c) ² +y² )

x²+2xc+c²+y²=4a²-4a√ ((x-c) ² +y² )+ x²-2xc+c²+y²

4cx-4a²=-4a√ ((x-c) ² +y² )

a² -cx =a√ ((x-c) ² +y² )

a⁴-2a²cx+c²x²=a² ((x-c) ²+y²)

a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²

a⁴-a²c²=(a²-c²)x²+a²y²

(a²-c²)x²+a²y²=a² (a²-c²)

a²-c²=b²

b²x²+a²y²=a²b² :a²b²

x²/a²+y²/b²=1 – каноническое уравнение эллипса

a>b a²>b²

4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. Параметры эллипса; связь между ними.

y²=b² (1-x²/a²)

y²=b²/a² (a²-x²)

y²≥0

a²-x²≥0

x²≤a²

|x|≤a

|y|≤b

Эллипс находится внутри прямоугольника со сторонами а, b.

Если точка М0 (х0, у0) принадлежит эллипсу, то и точки М1 (-х0, у0), М2 (х0, -у0), М3 (-х0, -у0) принадлежат этому эллипсу. Это значит что эллипс имеет две оси симметрии – Ох и Оу, и центр симметрии – точку О. Заметим, что точки (а, 0) и (0, b) находятся на осях симметрии и принадлежат эллипсу. Эти точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами. Числа a и b называют полуосями эллипса, а 2a и 2b – осями эллипса.

5. Эксцентриситет эллипса. Оптическое свойство эллипса

Эксцентриситетом эллипса называют отношение расстояния между фокусами к большей оси.

E=2c/2a  E=c/a

a²-c²=b²

a²=b²+c²

E=√((a²-b²)/a²)= √(1-b²/a²)

b/a=√(1-E²)

0≤E≤1

Если Е=0, то это означает, что b=a, с=0, уравнение эллипса x²+y²=a² – окружность с центром в начале координат и радиусом а. Иначе говоря, окружность – это эллипс с Е=0.

Если Е=1, то с=а, b=0, тогда эллипс становится отрезком [-a, a].

Если зафиксировать а, то смысл эксцентриситета становиться таким: чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль оси Ох.

Оптическое свойство эллипса.

Предположим, что изнутри эллипс покрыт зеркальным веществом. Пусть из одного фокуса посылают световой луч. Отражаясь от касательной к эллипсу в точке падения луча, он попадает во второй фокус эллипса.