6. Параметрические уравнения окружности и эллипса.

Возьмем окружность: x²+y²=R²

Параметрическое уравнение окружности

{X=Rcos(t)

{Y=Rsin(t)

Если t принадлежит [0,2П], то точка М(х, у) принадлежит окружности.

Параметрическое уравнение эллипса:

Y=b*sin(t)

x²/a²+b²sin² (t)/b²=0

x=a*cos(t), т.к знак cos(t) и знак x во всех четвертях совпадают.

0≤t≤2П, {x=a cos(t)

{y=b sin(t)

7. Связь между параметрами эллипса в случае b>a.

Если a<b, то b²=a²+c², c²=b²-a²

E=c/b

a/b=√(1-E²)

Эллипс вытянут вдоль оси Оу.

8. Определение и вывод канонического уравнения гиперболы

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Для вывода канонического уравнения гиперболы используется такая же система координат, как и для эллипса. (см билет №3)

√((x+c) ²+y²)- √((x-c) ²+y²)=±2a

(√((x+c) ²+y²))²=(√((x-c) ²+y²) ±2a) ²

x²+2xc+c²+y²=x²-2xc+c²+y²±4a√((x-c) ²+y²)+4a²

4cx-4a²=±4a√((x-c) ²+y²)

c²x²-2cxa²+a⁴=a²(x²-2cx+c²+y²)

c²x²+a⁴=a²x²+a²c²+a²y²

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²>0 т.к. c>a

c²-a²=b²

b²x²-a²y²=a²b² : a²b²

x²/a²-y²/b²=1 – каноническое уравнение гиперболы

9. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Уравнение асимптот гиперболы

Т.к уравнение содержит только x² и y², то, как и в случае эллипса, доказывается, что гипербола имеет две оси симметрии (Ох и Оу) и центр симметрии в точке О.

Выразим из уравнения у.

x²/a²-1=y²/b²

y²=b²x²/a²-b²

y=±b/a√(x²-a²)

x²≥a²

|x|≥a

y=0 при x=±a

x≠0 ни при каких y

F (±c, 0) – фокусы гиперболы.

График гиперболы в первой четверти: y=b/a*√(x²-a²)

Найдем асимптоту гиперболы:

y=kx+h

k=lim_(x=>+∞) b√(x-a)/(ax)= lim_(x=>+∞) b|x|√(1-a²/x²)/(ax)= lim_(x=>+∞) b/a√1=b/a

h= lim_(x=>+∞) (b/a√(x²-a²)-b/a*x)=b/a lim_(x=>+∞) (√(x²-a²)-x) = b/a lim_(x=>+∞) ((x²-a²-x²)/( √ (x²-a²)+x)=b/a * -a²/∞=0

Прямая y=b/a *x является асимптотой гиперболы в первой и третьей четверти. Очевидно, что прямая y=-b/a *x является асимптотой во второй и четвертой координатных четвертях.

Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.

10. Параметры гиперболы; связь между ними.

Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.

Из определения b² следует, что b²=c²-a², c²=a²+b²

Если b=a, то гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы становится квадратом и его диагонали, т.е. асимптоты гиперболы, перпендикулярны. В этом случае их можно принять за новые оси координат. В результате получится «школьная» гипербола.

11. Эксцентриситет гиперболы. Оптическое свойство гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называют величину, равную отношению расстояния между фокусами к большей оси гиперболы.

E=2c/2aE=c/a, E≥1

c²=a²+b²

c=√(a²+b²)

E=√(1+b²/a²), E²=1+b²/a², b²/a²=E²-1, b/a=√(E²-1)

Если Е=1, то это означает, что c=a, b=0. В этом случае гипербола вырождается в отрезок на прямой Ox (-∞,-a] и [a,+ ∞).

Если E=∞, b/a∞. Гипербола превращается в две прямые, перпендикулярные оси Ox и проходящие через вершины действительной оси гиперболы.

Если E=√2, то a=b, гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы вырождается в квадрат, асимптоты взаимно перпендикулярны.

Оптическое свойство гиперболы: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.