Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи

Конспект лекций

по теме:

«Интегральное исчисление»

Волгодонск

2010

Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .

Пример. Для функции : первообразная на R, так как при любом х.

Лемма.

Если производная функции на промежутке , то .

Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x₁, x₂  выполняется , где , так как   в силу произвольности точек x₁ и x₂ F(x) = C(const).

Ч.т.д.

Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x)  F(x)=Ф(x)+С.

Доказательство: так как  по Лемме  .

Ч.т.д.

Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .

 ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.

Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.

; - верно

Свойства неопределенного интеграла.

1
2
3
4
5
6
7

Замечание: Условием существования неопределенного интеграла является непрерывность подынтегральной функции.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Пусть на промежутке T определена функция , на множестве значений которой определена функция  = . Можно выделить два вида с заменой переменной.

Первый тип.

.

Такие замены стандартные, их нужно знать.

Пример: = = = = = = .

Второй тип.

, нужно в подынтегральной функции поискать производную какой-нибудь её части.

Пример: = = =e^t+C=e^{sin x}+C.

Таблица интегралов.

	От степенных функций
1	, n≠-1
2
3
4
5
6
	От показательной функции
7
8
	От тригонометрических функций
9
10
11
12
13
14
15
16
	для обратных тригонометрических функций
17
18
19
20
	Длинный логарифм
21
	Высокие логарифмы
22
	Полезные интегралы
23
24
25 26

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Т.к.  . Проинтегрируем обе части равенства: .

Интегрирование по частям применяют в случаях:

1. Подынтегральная сумма представляет собой произведение многочлена на показательную функцию или тригонометрическую. За u берется многочлен, за dv ‒ оставшееся.

Пример:

= = = = .

= = =

= = .

2. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. За часть u нужно взять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Пример: = = = = = . = = = .

3. Подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической на показательную функцию. Неважно что брать за u.

Пример: I= = = = = = .

; ; .