3.4.Решение основных уравнений

Приведенные выше уравнения справедливы для любых законов изменения приложенного напряжения. Однако для начала необходимо рассмотреть работу линии при синусоидальном напряжении, имеющем комплексное изображение:

→ . (3.8)

Ток также изменяется по синусоидальному закону

→ . (3.9)

Полученные комплексные выражения уже не являются функциями времени, а только расстояния. С учетом этого и используя правила дифференцирования комплексных выражений, основные уравнения запишутся в виде:

, , (3.10)

, , (3.11)

где R₀ + jωL₀ = Z₀ – полное комплексное сопротивление на единицу длины,

G₀ + jωC₀ = Y₀ – полная комплексная проводимость на единицу длины.

Решим систему уравнений (3.10) (3.11) относительно U . С этой целью продифференцируем уравнение (3.10) по х :

. (3.12)

Подставим правую часть уравнения (3.11):

. (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывается как обычно в виде

, (3.14)

где γ – корень характеристического уравнения ,

А₁ , А₂ – комплексные постоянные интегрирования, подлежащие определению через начальные условия.

Комплексное число

(3.15)

называют коэффициентом распространения; его можно представить в виде

γ = α + jβ , (3.16)

где  – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы.

Ток найдем из выражения (3.10):

. (3.17)

Отношение , имеющее размерность сопротивления, обозначают Z_В и называют волновым сопротивлением:

, (3.18)

где z_в – модуль; _в – аргумент волнового сопротивления.

Следовательно,

. (3.19)

3.5.Постоянные интегрирования. Гиперболические функции

В начале линии при х = 0 имеются напряжение Ú₁ и ток İ₁ . Составим уравнения для определения постоянных интегрирования. Из уравнений (3.14) и (3.19) при х = 0 следует:

, (3.20)

. (3.21)

Решая систему уравнений, путем сложения и вычитания, получим:

, (3.22)

. (3.23)

Подставим уравнения (3.22) и (3.23) в (3.14):

. (3.24)

С учетом того, что здесь появились гиперболические функции, и такие же преобразования можно произвести для тока, запишем:

, (3.25)

. (3.26)

По этим формулам можно найти напряжение и ток в любой точке линии, если известны ток и напряжение в начале линии. Однако, бывают известны требуемые ток и напряжение в конце линии.

Если в качестве граничных условий использовать значения тока и напряжения в конце линии, то получим такие же уравнения:

, (3.28)

. (3.29)

где y – расстояние от рассматриваемой точки до конца линии (y = l - x)

Во многих случаях использование в качестве граничных условий значений тока и напряжения в конце линии удобнее для определения других выражений, например, входного сопротивления линии и др.