3.Цепи с распределенными параметрами

3.1.Общие вопросы

Основоположником теории цепей с распределенными параметрами был английский ученый Оливер Хевисайд. Работая в одно время телеграфистом, он обнаружил, что из Англии в Данию можно передавать телеграммы в два раза быстрее, чем обратно. Оказалось, что при передаче электрических импульсов на большие расстояния появляются новые физические явления.

Суть этих явлений заключается в том, что в простых электрических цепях активные и реактивные сопротивления проводов и оборудования принимали как сосредоточенными в одном месте. На самом деле величины, которые называются первичными параметрами, распределены по всей длине электрической цепи.

3.2.Физическая природа первичных параметров

В цепях с распределенными параметрами происходит следующее. Вокруг любого проводника с током возникает магнитное поле. Магнитный поток создаваемый каждым элементом проводника пропорционален току. Так же как и прежде коэффициент пропорциональности (L) есть индуктивность элемента (Ф = L i). При этом:

L₀ – индуктивность на единицу длины прямого и обратного провода.

Электрические провода обладают электрическим сопротивлением;

R₀ – активное сопротивление на единицу длины прямого и обратного провода.

Если к линии приложено напряжение, то заряд, находящийся на проводах, пропорционален напряжению (g = C u). Коэффициент пропорциональности (С ) есть емкость между проводами. В цепях с распределенными проводами:

С₀ – емкость на единицу длины.

Несовершенство изоляции учитывается проводимостью между проводами:

G₀ – проводимость изоляции на единицу длины.

3.3.Эквивалентная схема замещения цепи с распределенными параметрами

Рассмотрим однородную двухпроводную линия связи или электропередачи. Возьмем бесконечно малый участок линии dx на расстоянии х от начала. Величины сопротивлений такого участка определяются как произведение сопротивления на единицу длины на длину участка. Эквивалентная схема замещения линии с обозначенными сопротивлениями приведена на рис. 3.1.

В начале участка протекает ток i . В конце участка ток получает приращение из за утечек тока через изоляцию и заряда емкости

, (3.1)

где дi / дх – скорость изменения тока вдоль линии.

Аналогично напряжение получает приращение

. (3.2)

Ток и напряжение зависят не только от времени, но и от расстояния. Поэтому здесь используются частные производные. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx , обойдя его по часовой стрелке:

. (3.3)

После сокращения и деления на dx получим

. (3.4)

По первому закону Кирхгофа для точки в

. (3.5)

Ток di равен сумме токов, протекающих через проводимость G₀ dx и емкость C₀ dx:

. (3.6)

После раскрытия скобок появляются слагаемые второго порядка малости (dxdx), которыми можно пренебречь. После деления оставшихся членов на dx получаем

. (3.7)

Запишем вместе уравнения (3.4) и(3.7):

.

Эти уравнения называются основными уравнениями цепи с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями Хевисайда, и являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Они связывают скорость изменения тока во времени с изменением напряжения от расстояния, и скорость изменения напряжения во времени с изменением тока от расстояния.

Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Конкретное решение может быть получено с использованием начальных (t = 0) и граничных условий (значений тока и напряжения в начале или в конце линии).