- •Оглавление
- •Электромагнитные явления 12
- •От авторов
- •Введение
- •Электромагнитные явления
- •1.1. Магнитное поле в вакууме и его характеристики. Магнитное поле и магнитный момент кругового тока
- •1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
- •1.3. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей прямолинейного и кругового токов
- •1.4. Магнитное взаимодействие токов. Силы Лоренца и Ампера
- •2.1. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля)
- •2.2. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей
- •2.3. Магнитный поток. Магнитные цепи
- •2.4. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •3.1. Природа магнитных свойств вещества. Магнитные моменты атомов. Микро- и макротоки (молекулярные токи)
- •3.2. Магнитное поле в веществе. Намагниченность
- •3.3. Диамагнетизм. Диамагнетики и их свойства
- •3.4. Парамагнетизм. Парамагнетики и их свойства
- •3.5. Элементы теории ферромагнетизма. Ферромагнетики и их свойства
- •3.6. Антиферромагнетизм. Антиферромагнетики и их свойства
- •3.7. Граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков
- •4.1. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило (закон) Ленца
- •4.2. Вывод основного закона электромагнитной индукции из закона сохранения и превращения энергии
- •4.3. Явление самоиндукции. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Коэффициенты индуктивности и взаимной индуктивности
- •4.4. Явление самоиндукции при замыкании и размыкании электрической цепи
- •4.5. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля
- •5.1. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле
- •5.2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле
- •5.3. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Гальваномагнитные явления
- •5.4. Применение электронных пучков в науке и технике. Понятие об электронной оптике
- •5.5. Эффект Холла
- •6.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
- •6.2. Получение электромагнитных колебаний. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение
- •6.3. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний
- •6.4. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс
- •7.1. Основные положения теории Максвелла
- •7.2. Представление эдс индукции с помощью теоремы Стокса
- •7.3. Представление циркуляции с помощью теоремы Стокса
- •7.4. Ток смещения
- •7.5. Система уравнений Максвелла
- •7.6. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Основные свойства, получение и распространение электромагнитных волн. Энергия электромагнитной (световой) волны. Вектор Умова-Пойтинга
- •7.7. Источники электромагнитного излучения
- •8.1. Релятивистское преобразование электромагнитных полей, зарядов и токов
- •8.2. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца
- •9.1. Квазистационарное электромагнитное поле
- •9.2. Квазистационарные электрические токи
- •Заключение
- •Рекомендательный список литературы Основной
- •Дополнительный
- •Редактор с.П. Тарасова Компьютерная верстка и макет
4.4. Явление самоиндукции при замыкании и размыкании электрической цепи
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника с ЭДС , сопротивления R и соленоида с индуктивностью L, которые соединены последовательно (рис. 4.6).
При включении источника в такую цепь, начиная с момент времени t = 0, в цепи появится возрастающий электрический ток I. За счет возрастания магнитного поля в соленоиде в замкнутом контуре возникает ЭДС самоиндукции, действующая противоположно сторонней ЭДС источника. В результате рост силы тока в цепи замедляется.
В этом случае закон Ома ( при r<<R, L = const) имеет вид
,
где . Следовательно,
.
Разделяя переменные (I и t), имеем
или
.
Интегрируя, получим
,
.
При t = 0, I = 0 , тогда
, (4.25)
т.е. ток постепенно возрастает от I = 0 до I = /R при t.
Установившееся значение силы тока, соответствующее закону Ома для постоянного тока, достигается лишь в смысле предела при бесконечном времени. На рис. 4.7 показана зависимость тока от времени при включении источника в цепь, состоящую из индуктивности и сопротивления. При увеличении индуктивности в цепи нарастание силы тока происходит медленнее.
У читывая экспоненциальную зависимость силы тока от времени, можно как обычно за время нарастания силы тока в цепи принять такое значение t, при котором показатель экспоненты обращается в "минус" единицу, т.е. .
Аналогично можно показать, что при выключении постоянного источника ЭДС сила тока не падает мгновенно до нуля, а уменьшается постепенно согласно уравнению
. (4.26)
В ремя убывания силы тока определяется той же формулой: . Электродвижущей силой, которая обеспечивает существование тока в цепи в течение этого промежутка времени, является ЭДС самоиндукции, а источником энергии - энергия магнитного поля катушки индуктивности. На рис. 4.8 показана зависимость тока от времени при выключении источника из цепи, состоящей из индуктивности и сопротивления. При увеличении индуктивности в цепи убывание силы тока происходит медленнее.
Вопросы включения и выключения ЭДС с самоиндукцией впервые рассмотрел Гельмгольц в 1855 г.
Е сли цепь состоит из сопротивления R и конденсатора C, то наличие конденсатора исключает возможность протекания по ней постоянного тока (рис. 4.9). В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора, на которых располагаются соответствующие заряды, полностью компенсирует действие сторонней ЭДС источника тока. Однако переменный ток в цепи при наличии конденсатора существует, поскольку в этом случае заряд на обкладках конденсатора переменен, что и обеспечивает протекание тока в цепи. Кроме того, разность потенциалов на обкладках конденсатора не компенсирует действия сторонней ЭДС источника тока, благодаря чему и поддерживается соответствующая сила тока.
Закон Ома при наличии в цепи конденсатора и сопротивления записывается в виде уравнения
, (4.27)
где q - заряд на обкладке конденсатора;
- разность потенциалов между обкладками конденсатора.
Продифференцировав уравнение (4.77) по t, получим
, (4.28)
где - ток в цепи.
Включение и выключение постоянной ЭДС в цепь с емкостью и сопротивлением приводит к следующим результатам. Пусть постоянное напряжение Uo включается в момент t = 0. Из уравнения (4.27) видно, что , а уравнение (4.28) принимает при t>0 вид
.
Решение этого уравнения при начальном условии ( ) выражается соотношением
. (4.29)
Следовательно, с течением времени сила тока в цепи убывает от максимального значения Io до нуля. Время убывания тока определяется соотношением
. (4.30)
Поэтому если емкость C достаточно велика, то ток после выключения постоянного напряжения может существовать достаточно заметное время. После того как сила тока упала до нуля, конденсатор оказывается заряженным до разности потенциалов, равной сторонней ЭДС, но противоположно направленной. Они компенсируют друг друга. При выключении сторонней ЭДС разность потенциалов на обкладках конденсатора оказывается не скомпенсированной. По цепи начинает течь ток, начальная сила которого Io, а закон уменьшения силы тока полностью совпадает с (4.39) с тем же временем убывания.
В общем случае, когда цепь состоит из емкости C, индуктивности L, сопротивления R и источника тока с ЭДС, равной (рис. 4.10), уравнение для тока в цепи можно записать так:
. (4.31)
После дифференцирования по t обеих частей выражения (4.31) можно записать
. (4.32)
Различные частные решения уравнения (4.32) были рассмотрены ранее.