Задача 6.18
В городе 6 коммерческих банков, работающих независимо друг от друга. У каждого банка риск банкротства в течение года составляет 7%. Определить вероятность того, что в течение года обанкротится
а) менее 3-х банков;
б) хотя бы один банк;
в) не менее 3 банков.
Решение. Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события A = {коммерческий банк обанкротится в течение года} одинакова и равна:
;
q
= 1 – p
= 1 – 0,07 = 0,93.
а) Для вычисления вероятности события B = {в течение года обанкротится менее 3-х банков из шести} воспользуемся формулой Бернулли
,
где 0 p <
3 ;
q
= 1 – p;
m
= 0, 1, 2,…, n.
+
+
=
0,647 + 0,292 + 0,0549 = 0,9939
б) При
вычислении вероятности события C = {в
течение года обанкротится хотя бы один
коммерческий банк из шести} удобно
перейти к рассмотрению события
= {в
течение года не обанкротится ни один
коммерческий банк}:
Применяя формулу Бернулли, вычисляем:
в) При
вычислении вероятности события D = {в
течение года обанкротится не менее трез
коммерческих банков} удобно перейти к
рассмотрению события
= {в
течение года обанкротится менее трех
коммерческих банков}:
Применяя формулу Бернулли, вычисляем:
Ответ: вероятность того, что в течение года обанкротится:
а) менее 3-х банков, равна 0,9939;
б) хотя бы один коммерческий банк, равна 0,353;
в) не менее трех коммерческих банков, равна 0,061.
Задача 7.2
Вероятность того, что малое предприятие региона обанкротится за время Т равна 0,2. Определить вероятность того, что из 130 малых предприятий региона, работающих независимо друг от друга, за время Т приостановят свою деятельность :
а) ровно 30 предприятий;
б) от 60 до 90 предприятий.
Решение. Определим события В = {среди 130 малых предприятий региона ровно 30 за время Т приостановят свою деятельность};
С ={ среди 130 малых предприятий региона от 60 до 90 предприятий за время Т приостановят свою деятельность }.
Предполагая, что предприятия работают независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из n = 130 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = {предприятие обанкротится} равна 0,2. То есть p = 0,2, q = 0,8.
Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятностей событий B и C можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа.
а) Определим вероятность события В = {среди 130 малых предприятий региона ровно 30 за время Т приостановят свою деятельность}.
Для вычисления вероятности события В воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае: n = 130; p = 0,2; q = 0,8; m = 30;
По
таблицам значений функции
находим
(0,877) = 0,2709
б) Для вычисления вероятности события С воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 130; p = 0,2; q = 1 – 0,2= 0,8; k1 = 60; k2 =90;
;
По
таблицам значений функции
находим
(7,455)
= 0,5, (14,033) = 0,5.
Таким
образом,
.
Ответ: вероятность того, что из 130 малых предприятий региона, работающих независимо друг от друга, за время Т приостановят свою деятельность:
а) ровно 30 предприятий, равна 0,059;
б) от 60 до 90 предприятий, равна 0.
9.19. |
|
|
9.20. |
|
