МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «прикладная математика»

контрольная работа

по дисциплине

«основы теории вероятностей»

Выполнил студент факультета ФБО Группы 09-ЗБ-21 Шифр 278 Киселева Л.А.

Гомель 2010г.

Содержание

контрольная работа №1

Задача 1.18 3

Задача 2.22 4

Задача 3.6 5

Задача 4.10 8

Задача 5.14 9

Задача 6.18 10

Задача 7.2 11

Задача 1.18

 Эксперимент состоит в том, что внутри прямоугольника , изображённого на рисунке, случайным образом выбирается точка. События A, B и C состоят, соответственно, в попадании выбранной точки внутрь кругов A, B и C. Изобразить области, попадание в которые соответствует осуществлению событий:

Решение. Области, попадание в которые соответствует осуществлению указанных событий, приведены на следующих рисунках:

а) А + ВС = А В С	Ω А В С
б) =	Ω А В С
в) (В+С) = (В С)	Ω А В СС
г) =	Ω А В С

Задача 2.22

Для вычисления вероятностей событий воспользоваться классическим методом определения вероятностей.

Подбрасываются 3 монеты. Какова вероятность того, что:

а) хотя бы одна монета упадет кверху гербом;

б) герб выпадет только на 2 монетах?

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента может быть представлено в условных обозначениях следующим образом:

 = {РРР, ГРР, РГР, РРГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ} – все возможные исходы n = 8.

Определим события:

а) А = {хотя бы одна монета упадет кверху гербом}

А = {ГРР, РГР, РРГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ}, (m = ₇), P(А) ;

= {РРР} - благоприятные исходы

m = 1

Все элементарные исходы данного пространства  равновероятны, таким образом, для опредления вероятностей всех событий, связанных с этим опытом, можем воспользоваться классическим методом определения вероятности

P( ) ;

P(А) =

=

= 1 -

б) В = {герб выпадет только на 2 монетах}

В = {ГРГ, ГГР, РГГ}, (m = 3), P(В) =  .

Ответ:

а) вероятность того, что хотя бы одна монета упадет кверху гербом, равна 0,875;

б) вероятность того, что хотя бы одна монета упадет кверху гербом, равна 0,375.

Задача 3.6

Найти вероятности событий двумя способами, используя:

а) формулы комбинаторики;

б) теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей зависимых событий. Результаты сравнить.

Предприятие объявляет конкурс на замещение 3 вакантных должностей. Из 7 человек, подавших свои документы на конкурс – 3 женщины. Случайным образом отобраны 3 человека. Какая вероятность того, что среди отобранных окажутся:

а) все 3 мужчины;

б) 2 женщины?

Решение. Обозначим события:

А = {из трех, случайным образом отобранных человек, – все три мужчины};

В ={из трех, случайным образом отобранных человек, – две женщины и один мужчина}.

Найдем вероятности событий двумя способами:

1) пользуясь формулами комбинаторики;

2) пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей.

1а) Определим вероятность события А = {из трех, случайным образом отобранных человек, – все три мужчины}.

Определим число способов выбора 3 человек из 7 – выборка неупорядоченная без возвращения.

Число способов определим по формуле

, .

Определим число способов выбора 3 мужчин из 4 мужчин, подавших свои документы на конкурс: .

Вероятность события А Р(А) = .

1б) Обозначим события:

А = {из трех, случайным образом отобранных человек, – все три мужчины};

А₁ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Р(А₁) = (всего 7 кандидатов, из них 4 мужчины).

Событие А₂ = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Р(А₂ / А₁) = {всего осталось 6 кандидатов, из них 3 мужчины}.

Событие А₃ = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Р(А₃ / ) = {всего осталось 5 кандидатов, из них 2 мужчины}.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(А) = P(A₁) P(A₂/ А₁) P( А₃/ ) = = = 0,114.

2а) В = {из трех, случайным образом отобранных человек – две женщины и один мужчина}.

Определим число способов выбора 3 человек из 7 по формуле

.

Определим число способов выбора двух женщины из 3 женщин, подавших свои документы на конкурс: .

Определим число способов выбора одного мужчины из (7 – 3) = 4 мужчин, подавших свои документы на конкурс: .

Вероятность события В .

2б) Обозначим события:

В = {из трех, случайным образом отобранных человек, – две женщины и один мужчина};

С₁ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – женщина, второй – мужчина, третий – мужчина};

С₂ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина, второй – женщина, третий – мужчина};

С₃ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина, второй – мужчина, третий – женщина}.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(В) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃).

Вероятность события С₁ определим по формуле

Р(С₁) = P(В₁) P(В₂ / В₁) P( В₃/ ) _.

Событие В₁ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Вероятность события Р(В₁) = (всего 7 кандидатов, из них 3 женщины).

Событие В₂ = {второй, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Вероятность события P(В₂ / В₁) = (всего осталось 6 кандидатов, из них 2 женщины).

Событие В₃ = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события P(В₃ / ) = (всего осталось 5 кандидатов, из них 4 мужчины).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(С₁) = P(В₁) P(В₂ / В₁) P( В₃ / ) = = .

Вероятность события С₂ определим по формуле:

Р(С₂) = P(В₁) P( / В₁) P( В₃/ ).

Событие В₁ = {первый, случайным образом отобранный кандидат – женщина}.

Вероятность события Р(В₁) =  (всего 7 кандидатов, из них 3 женщины).

Событие  = {второй, случайным образом отобранный кандидат – мужчина}.

Вероятность события Р( / В₁) =  (всего осталось 6 кандидатов, из них 4 мужчины).

Событие В₃ = {третий, случайным образом отобранный кандидат – женщина}.

Вероятность события P(В₃ / ) =  (всего осталось 5 кандидатов, из них 2 женщины).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(С₂) = P(В₁) P( / В₁) P( В₃/ )= = = 0,114.

Вероятность события С₃ определим по формуле

Р(С₃)= P(В₁) P( / В₁) P( / ).

Событие В₁ = {первый, случайным образом отобранный кандидат, – мужчина}.

Вероятность события Р(В₁) = (всего 7 кандидатов, из них 4 мужчины).

Событие В₂ = {второй, случайным образом отобранный кандидат – женщина}.

Вероятность события Р( / В₁) =  (всего осталось 6 кандидатов, из них 3 женщины).

Событие В₃ = {третий, случайным образом отобранный кандидат, – женщина}.

Вероятность события Р( / ) =  (всего осталось 5 кандидатов, из них 2 женщины).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(С₃) = P(В₁) P( / В₁) P( / ) =  = = 0,114.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(В) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃) = 0,114+ 0,114+ 0,114 = .

Ответ:

а) вероятность того, что из трех, случайным образом отобранных человек, – все три мужчины, равна 0,114;

б) вероятность того, что из трех, случайным образом отобранных человек, – две женщины и один мужчина, равна 0,34.