Задача 4.10
Найти вероятности событий пользуясь теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий.
Для корректировки бизнес-плана предприятия директор собрал совещание, на котором присутствовали три независимых группы его разработчиков: маркетологи, экономисты, технологи. Вероятность того, что группа маркетологов «отстоит» свой первичный вариант разработанного бизнес-плана равняется 0,8, для группы экономистов эта вероятность равна 0,8, для группы технологов 0,65. Бизнес-план будет скорректирован, если хотя бы одна из групп разработчиков не «отстоит» свои позиции. Найти вероятность того, что
а) бизнес-план будет скорректирован;
б) бизнес-план не будет скорректирован;
в) только экономисты «отстоят» свои позиции.
Решение: Согласно условию вероятность события A1 P(A1) = 0,8, вероятность события A2 – P(A2) = 0,8, вероятность события A3 – P(A3) = 0,7.
Тогда
вероятности противоположных событий:
,
,
.
Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:
-
Элементарные события
События
Вероятности
0,8
0,8
0,7
0,448
0,8
0,2
0,7
0,112
0,2
0,8
0,7
0,112
0,8
0,8
0,3
0,192
0,2
0,2
0,7
0,028
0,8
0,2
0,3
0,048
0,2
0,8
0,3
0,048
0,2
0,2
0,3
0,012
Итого
1
а) Событие B = {бизнес-план будет скорректирован}
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим
=
=
+
+
+
+
=
0,112+0,112+0,192+ 0,028+0,048+
0,048+
0,012
= 0,552.
б) Событие C = {бизнес-план не будет скорректирован}
По теореме умножения вероятностей независимых событий
0,8
* 0,8 *0,7 = 0,448.
б) Событие D = {только экономисты «отстоят» свои позиции}
0,2*0,8*0,3
= 0,048.
Ответ:
а) вероятность того, что бизнес-план будет скорректирован, равна 0,552;
б) вероятность того, что бизнес-план не будет скорректирован, равна 0,448;
в) только экономисты «отстоят» свои позиции, равна 0,048.
Задача 5.14
Страховая
компания делит застрахованных по классам
риска: первый класс – малый риск , второй
класс – средний риск, третий класс –
большой риск. Среди всех клиентов
=
10% - первого класса,
=
20%- второго класса,
=
70%- третьего класса. Вероятность
необходимости выплачивать страховое
вознаграждение для первого класса
равняется
=
0,01, для второго класса -
=
0,07, для третьего класса -
=
0,08. Какая вероятность того, что случайно
выбранный клиент получит страховое
вознаграждение. Клиент получил
вознаграждение, какова вероятность
того, что он относится к
- му классу риска, i
=
1.
Решение. Определим событие A = {клиент получил вознаграждение и относится к 1 - му классу риска}.
Относительно условий рассматриваемого случайного эксперимента, состоящего в проверке документов, можно выдвинуть три несовместные гипотезы:
H1 = {необходимость выплачивать страховое вознаграждение для первого класса};
H2 = {необходимость выплачивать страховое вознаграждение для второго класса};
H3 = {необходимость выплачивать страховое вознаграждение для третьего класса}.
Эти гипотезы равновозможны.
Причём H1 + H2 + H3 = .
Учитывая свойство вероятностей гипотез P(H1) + P(H2) + P(H3) =1, определим:
= 0,1;
= 0,2;
= 0,7.
Условные вероятности события A = {клиент получил вознаграждение и относится к 3 - му классу риска} при осуществлении этих гипотез известны и равны:
P(A | H1)
=
= 0,1; P(A | H2)
=
=
0,35;
P(A | H3)
=
=
0,114
Для определения вероятности события A воспользуемся формулой полной вероятности
0,1*0,1+0,2*0,35+0,7*0,114
=
= 0,01+0,07+0,0798=0,1598
Для определения вероятности того, что клиент получил вознаграждение и относится к 1 - му классу риска, воспользуемся формулой Байеса
,
Ответ: вероятность того, клиент получил вознаграждение и относится к 1 - му классу риска, равна 0,626.