Задача 8.6

Для определения в условии дискретной случайной величины:

7. Построить ряд распределения и столбцовую диаграмму;

8. Найти функцию распределения и построить ее график;

9. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Имея в запасе 3 патрона, стрелок производит выстрелы в мишень до первого попадания, или, пока не израсходует все патроны. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Случайная величина X – число выстрелов, произведенных в мишень.

p = 0,8

q = 1- p = 1-0,8=0,2

Х может принимать значения 1,2,3.

P (x=0) = q³ = 0,2³= 0,008 при трех выстрелах промах;

P (x=1) = p = 0,8 при первом же выстреле произошло попадание;

P (x=2) = qp = 0,2·0,8 = 0,16 при первом выстреле промах, при втором выстреле произошло попадание;

P (x=3) = q²p = 0,2²·0,8 = 0,032 при двух выстрелах промах, при третьем выстреле произошло попадание;

Простейшим способом задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения.

xi	0	1	2	3	Итого
pi	0,008	0,8	0,16	0,032	1
xi· pi	0	0,8	0,32	0,096	1,216
xi2· pi	0	0,8	0,64	0,288	1,728

Построим столбцовую диаграмму

0,032

0,008 08

0,16

0,8

P_i

Рисунок 1 - Столбцовая диаграмма

Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

:

при x   , 0] ;

при x  0, 1] ;

при x  1, 2] ;

при x  2, 3] ;

приx  3, +)

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

График функции F(x) приведён на рисунке 2.

F 1 0,968 0,808 (x)
0 ,008
0	1	2	3	xi

Рисунок 2 – Функция распределения

3) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины.

Математическое ожидание

[попаданий],

т. е. среднее число попаданий, которые стрелок сможет сделать, равно 1,216. Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет моду: , т. е. наиболее вероятное число попаданий, которое стрелок сможет сделать, равно 3.

Дисперсия

[попаданий²].

Среднее квадратическое отклонение [попаданий].

15