Задача 9.12
Закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вероятностей f(x). Требуется:
1. Определить значение параметра C.
2. Построить график функции плотности распределения вероятностей.
3. Найти функцию распределения данной случайной величины и построить ее график.
4. Вычислить числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
5. Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, принадлежащее отрезку [a; b].
|
|
|
1) Для определения неизвестного параметра c воспользуемся соотношением
В данном случае имеем:
+2сx
=
=c
Отсюда
.
Таким образом, функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
2) График функции f(x) изображён на рисунке 3.
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
x |
Рисунок 3 - График плотности распределения f(x)
3) Вычислим функцию распределения данной случайной величины
:
при
x , -2] 
;
при x -2, 2]
при x 2, + )
Итак,
График функции F(x) приведён на рисунке 4
Рисунок 4 – График функции распределения F(x)
4) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины.
Математическое ожидание:
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
Среднее квадратическое отклонение
Мода данной случайной величины, как следует из графика функции f(x), равна 2.
Для определения медианы воспользуемся соотношением
,
По
условию плотность распределения
случайной величины не равна 0 в интервале
,
поэтому
.
5) Для
вычисления вероятности того, что
случайная величина Х
примет значение, принадлежащее отрезку
[0;2], можно воспользоваться, например,
соотношением 
.
На
рисунке 3 штриховкой выделена фигура,
площадь которой равна вероятности
Задача 10.26
Время пользования Интернетом в вечернее время распределено по показательному закону с математическим ожиданием, равным М[Х]=0,6 часа. Найти вероятность того, что пользователь будет находиться в Интернете более α=0,3 часа. Найти среднее квадратичное отклонение времени пользования Интернетом. Построить график плотности распределения случайной величины Х.
Согласно условию, математическое ожидание случайной величины X, обозначающей время пользования Интернетом, равно 0,6 часов. Учитывая, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, M[X] = 1/, определяем значение параметра:
Функция плотности распределения данной случайной величины X имеет вид
0 , x<0 0 ,
x<0
f(x)= => f(x)=
,
x≥0 
,
x≥0
Определим вероятность того, что пользователь будет находиться в Интернете более 0,3 часа:
Для случайной величины X, распределенной по показательному закону,
На
рисунке 5 штриховкой выделена фигура,
площадь которой равна вероятности
Рисунок 5– График плотности распределения вероятностей показательного закона