2.1Определение множества комплексн чисел…

Компл числами z называют упорядоченные пары действительных чисел(x,y). Применяют след обозначения:

Z=(x,y)-к-числа, x=ReZ-действительная часть, y=ImZ-мнимая часть

Два комплексных числа называются равными, если по отдельности равны их ReZ и ImZ части. Операции сложения и умножения к-чисел вводятся так:

Если z1=(x1,y1) z2=(x2,y2)

Z1+z2=(x1+x2;y1+y2); z1*z2=(x1x2-y1y2;x1y1+x2y2);

Можно доказать, что эти две операции обладают теми же свойствами, что и аналогические операции в алгебре действ чисел:

-коммутативность сложения и умножения;

-ассоциативность;

-дистрибутивность умножения относительно сложения.

Операции вычитания и деления вводят, как обратные по отношению к предыдущим двум. Пишут z=z1-z2, если z+z2=z1

Z=z1/z2, если zz2=z1

Отсюда получаются формулы z1-z2=(x1-x2;y1-y2);

Z1/z2=((x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2);(y1x2-x1y2)/(x2^2+y2^2)), если z2!=(0,0)

Комплексные числа (0,0), (1,0) и (0,1) называется нулем, единицей и мнимой соотв.

Они обладают след свойствами:

(0,0)+(х,у)=(х,у)

(0,0)*(х,у)=(0,0)

(1,0)*(х,у)=(х,у)

(0,1)*(0,1)=(-1,0)

Здесь: (х,у)=z – любое комплексное число

1)При х>0 z =(0,y) называют чисто мнимым.

2)При y=0 z=(x,0) оказывается, что множество таких к-чисел неотличимо от множества действительных чисел.

2.2Комплексная плоскость…

Введем на плоскости декартову систему координат Oxy. Каждому к-числу z=(x,y) поставим в соответствие точку плоскости А (x,y). Саму плоскость будем называть компл. Плоскостью, а оси Ox и Oy действительной и мнимой осями. Соответствие между к-числами и точками плоскости является взаимно-однозначными. Поэтому при построении теории к-чисел эти числа сложнее отождествлять с точками компл. Плоскости, подобно тому, как при построении теории действительных чисел, эти числа мы отождествляем с той числовой прямой. Кроме декартовых координат точки (x,y) мы будем использовать так же полярные координаты точки (r,фи). Связь между этими наборами показана на рис.

Полярный радиус r называют модулем к-числа z и обозначают: z(по модулю). А полярный угол фи называют аргументом этого числа и обозначают: arg z

Переход от полярных координат к декартовым x=r*cos(фи) y= r*sin(фи).

Обратный переход : r=корень(x^2 +y^2)=>0

-пи<фи=<пи(традиционно);

Рис.

..

..

Двум системам координат отвечают и две формы представления к-чисел

Z=(x,z)-алгебр. форма

Z=(r*cos(φ), r*sin(φ))-тригон. Форма

При использовании декартовых координат, становятся наглядными операции сложения и вычитания к-чисел ,а при использовании полярных координат- операции умножения и деления:

2.3 Символический метод работы с комплексными числами…

2.4 Гармонический ток – частный случай переменного тока… а) ЭДС источников напряжения и токи источников тока будут переменными, поэтому будут переменными и токи в ветвях цепи и напряжения на элементах цепи. б) Кроме резисторов выполняющих роль пассивных элементов цепи, будем рассматривать еще и катушки индуктивности и конденсаторы.

1) Источники напряжения

Стрелки также произвольно

U(t) - ЭДС r – внутреннее сопротивление. У идеального источника r = 0, поэтому уравнение станет таким U(t) = E(t) - Уравнение идеального источника.

Напряжение на нагрузки U(t) не зависит от нагрузки и всегда равно E(t). От нагрузки зависит лишь ток i(t).

2) Источник тока

i(t)= I(t)-g*U(t) уравнение реального источника. I(t) ток источника g – внутреннее сопротивление

Если g=0 => r= бесконечности (разрыв) то и источник будет идеальным.

i(t)=I(t) – уравнение идеального источника.

Ток через нагрузку i(t) не зависит от нагрузки и всегда равен I(t) от нагрузки зависит лишь напряжение U(t).

3) Идеальный резистор

4) Идеальная катушка индуктивности

L – индуктивность, [Гн] Приведем эти уравнения к другому виду. Разделим обе части первого уравнения на L и проинтегрируем получившееся новое уравнение до произвольного момента t.

Другой вид уравнения катушки.

5) Идеальный конденсатор

Уравнения конденсатора

С – электроемкость [Ф]

Тем же способом эти уравнения можно привести к другому виду

Другой вид уравнения конденсатора

Говорят, что резистор обладает активным сопротивлением и катушка и конденсатор – реактивными сопротивлениями.